Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
Solution : 1 ◦ ) Soit K := {x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n | x 1 x 2 . . . x n } . Il est
clair que K est un cône convexe fermé de R n , polyédral même, qui peut être
décrit par n − 1 inégalités g i (x) 0, avec
g i (x) := x i − x i+1 pour tout i = 1, . . . , n − 1.
Le problème posé peut être formalisé comme suit :
– Minimiser u − x (ou
1
2 u − x 2 ) sous les contraintes g i (x) 0, i =
1, . . . , n − 1 ;
ou bien comme ceci :
– Trouver la projection x de u sur K.
2 ◦ ) Les fonctions g i définissant les contraintes du type inégalité sont linéaires, avec même les ∇g i (x) = e i −e i+1 , i = 1, . . . , n−1 ({e i } base canonique
de R n ) linéairement indépendants. Donc, x = (x 1 , . . . , x n ) est solution du problème posé si, et seulement si, x ∈ K et il existe
μ 1 , . . . , μ n−1
∈ (R + )
n−1
(unique d’ailleurs) tel que
x − u +
n−1
i=1
μ i (e i − e i+1 ) = 0,
μ i (x i+1 − x i ) = 0 pour tout i = 1, . . . , n − 1.
Détaillons ces conditions ; cela devient : x 1 x 2 . . . x n , et il existe
μ 1 , . . . , μ n−1 tels que :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 − u 1 + μ 1 = 0
x 2 − u 2 + μ 2 − μ 1 = 0
. . .
x i − u i + μ i − μ i−1 = 0
. . .
x n−1 − u n−1 + μ n−1 − μ n−2 = 0
x n − u n − μ n−1 = 0 ;
μ 1 0, . . . , μ n−1 0 et
μ i (x i − x i+1 ) = 0 pour i = 1, . . . , n − 1.
(3.14)
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