Optimisation et analyse convexe
M m,n (R) : ensemble des matrices (m, n) (m lignes et n colonnes) à coefficients
réels ; M n (R) est une abréviation de M n,n (R).
[a ij ] : matrice de terme général a ij (à la i-ème ligne et j-ème colonne).
diag (λ 1 , . . . , λ n ) : matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont
λ 1 , . . . , λ n .
I n (ou I quand il n’y a pas d’ambiguïté) : matrice-unité de M n (R), i.e.
diag (1,. . .,1).
A ou t A : transposée de A ∈ M m,n (R) [les deux notations sont d’un usage
très courant ; par contre A t est à proscrire car génératrice de confusions].
Lorsque A est inversible, A −− désigne l’inverse de A (ou, ce qui revient au
même, la transposée de A −1 ).
tr A : trace de A ∈ M n (R).
dét A : déterminant de A ∈ M n (R).
cof A : matrice des cofacteurs de A ∈ M n (R), i.e. celle dont le terme (i, j) est
(−1) i+j dét A ij , où A ij est obtenue à partir de A en enlevant la i-ème ligne et la
j-ème colonne.
S n (R) : ensemble des matrices de M n (R) qui sont symétriques.
⊕ symbolise la somme directe de sous-espaces vectoriels.
vect{v 1 , . . . , v k } : sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs v 1 , . . . , v k .
Sauf indication contraire, R n est muni de sa base canonique ; ainsi à A ∈
M m,n (R) est canoniquement associée une application linéaire de R n dans R m ,
d’où les notations Ker A, Im A, etc.
L’isomorphisme canonique de R n sur M n,1 (R) est celui qui à x = (x 1 , . . . , x n )
associe la matrice unicolonne X =
⎡
⎢
⎣
x 1
. . .
x n
⎤
⎥
⎦ ; des expressions comme AX (ou Ax) ne
devraient pas arrêter l’étudiant-lecteur. Si, par exemple, u et v sont deux vecteurs
de R n , uv est une matrice carrée de taille n dont le terme général est u i v j , alors
que u v est la matrice-scalaire (ou scalaire)
n
i=1
u i v j .
·, ·· , ·, · ·, (· | ·) : notations utilisées pour les produits scalaires (dans
des espaces euclidiens). Sauf indication contraire, ·, ·· désigne dans R n le produit
scalaire usuel (celui qui à x = (ξ 1 , . . . , ξ n ) et y = (η 1 , . . . , η n ) associe x, y :=
n
i=1
ξ i η i , soit encore x y (cf. supra)). Bien des problèmes d’optimisation se posent
dans des espaces de matrices : si X := M m,n (R), le produit scalaire standard sur
X est défini par M, N := tr (M N ).
x
M m,n (R) : ensemble des matrices (m, n) (m lignes et n colonnes) à coefficients
réels ; M n (R) est une abréviation de M n,n (R).
[a ij ] : matrice de terme général a ij (à la i-ème ligne et j-ème colonne).
diag (λ 1 , . . . , λ n ) : matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont
λ 1 , . . . , λ n .
I n (ou I quand il n’y a pas d’ambiguïté) : matrice-unité de M n (R), i.e.
diag (1,. . .,1).
A ou t A : transposée de A ∈ M m,n (R) [les deux notations sont d’un usage
très courant ; par contre A t est à proscrire car génératrice de confusions].
Lorsque A est inversible, A −− désigne l’inverse de A (ou, ce qui revient au
même, la transposée de A −1 ).
tr A : trace de A ∈ M n (R).
dét A : déterminant de A ∈ M n (R).
cof A : matrice des cofacteurs de A ∈ M n (R), i.e. celle dont le terme (i, j) est
(−1) i+j dét A ij , où A ij est obtenue à partir de A en enlevant la i-ème ligne et la
j-ème colonne.
S n (R) : ensemble des matrices de M n (R) qui sont symétriques.
⊕ symbolise la somme directe de sous-espaces vectoriels.
vect{v 1 , . . . , v k } : sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs v 1 , . . . , v k .
Sauf indication contraire, R n est muni de sa base canonique ; ainsi à A ∈
M m,n (R) est canoniquement associée une application linéaire de R n dans R m ,
d’où les notations Ker A, Im A, etc.
L’isomorphisme canonique de R n sur M n,1 (R) est celui qui à x = (x 1 , . . . , x n )
associe la matrice unicolonne X =
⎡
⎢
⎣
x 1
. . .
x n
⎤
⎥
⎦ ; des expressions comme AX (ou Ax) ne
devraient pas arrêter l’étudiant-lecteur. Si, par exemple, u et v sont deux vecteurs
de R n , uv est une matrice carrée de taille n dont le terme général est u i v j , alors
que u v est la matrice-scalaire (ou scalaire)
n
i=1
u i v j .
·, ·· , ·, · ·, (· | ·) : notations utilisées pour les produits scalaires (dans
des espaces euclidiens). Sauf indication contraire, ·, ·· désigne dans R n le produit
scalaire usuel (celui qui à x = (ξ 1 , . . . , ξ n ) et y = (η 1 , . . . , η n ) associe x, y :=
n
i=1
ξ i η i , soit encore x y (cf. supra)). Bien des problèmes d’optimisation se posent
dans des espaces de matrices : si X := M m,n (R), le produit scalaire standard sur
X est défini par M, N := tr (M N ).
x