Abréviations et notations
Soit A ∈ M n (R), u et v des vecteurs de R n : u Av est un(e) (matrice-)
scalaire égal(e) à (sa transposée) uA v ; un mécanisme plus commode d’utilisation
et engendrant moins de fautes est d’écrire u, Av =
A u, v
.
Si l est une application linéaire d’un espace euclidien (E, ·, · ·) dans un
autre espace euclidien (F, ·, ··), l’adjointe l ∗ de l est l’application linéaire de F
dans E définie par
l
∗ (y), x = y, l(x) pour tout (x, y) ∈ E × F.
Si l’on représente l’ensemble des formes linéaires sur E par E via le produit
scalaire ·, · · (idem pour F ), prendre l’adjointe de l ou sa transposée revient
au même. Lorsque E et F sont munies de bases orthonormales (comme c’est le
cas des espaces euclidiens (R n , ·, ··) munies de leurs bases canoniques), la matrice
représentant l’adjointe de l (= sa transposée) dans ces bases est la transposée de
la matrice représentant l.
: norme dans un espace vectoriel normé X. Si X est muni d’un produit
scalaire ·, ·· (exemples typiques : R n , M m,n (R)), et en l’absence d’autres précisions, ·· désignera la norme dérivée du produit scalaire (i.e. ·· =
·, ··).
Lorsqu’interviennent à la fois des normes de vecteurs et de matrices, on évite les
confusions en utilisant ·· pour les vecteurs et ||| · ||| pour les matrices).
int S ou
◦
S : intérieur de S ; S : adhérence de S ;
fr S : frontière de S.
B(x, r) : boule fermée de centre x et de rayon r.
Δ n : simplexe-unité de R n , c’est-à-dire l’ensemble des (α 1 , . . . , α n ) ∈ R n tels
que α 1 + . . . + α n = 1 et α i 0 pour tout i (coefficients qui servent dans la prise
de combinaisons convexes).
A ∈ S n (R) est dite (symétrique) semi-définie positive lorsque Ax, x 0
pour tout x ∈ R n [cette appellation est préférable à « positive » qui peut signifier,
dans certains cas, « à coefficients positifs »]. On désignera par P n (R) l’ensemble
des matrices semi-définies positives de taille n.
A ∈ S n (R) est dite (symétrique) définie positive lorsque Ax, x > 0 pour tout
x = 0 de R n (ce qui revient à : A semi-définie positive et inversible). On désignera
par
◦
P n (R) l’ensemble des matrices définies positives de taille n.
Le caractère de semi-définie ou définie positivité ne sera considéré dans ce
recueil que pour des matrices symétriques.
xi
Soit A ∈ M n (R), u et v des vecteurs de R n : u Av est un(e) (matrice-)
scalaire égal(e) à (sa transposée) uA v ; un mécanisme plus commode d’utilisation
et engendrant moins de fautes est d’écrire u, Av =
A u, v
.
Si l est une application linéaire d’un espace euclidien (E, ·, · ·) dans un
autre espace euclidien (F, ·, ··), l’adjointe l ∗ de l est l’application linéaire de F
dans E définie par
l
∗ (y), x = y, l(x) pour tout (x, y) ∈ E × F.
Si l’on représente l’ensemble des formes linéaires sur E par E via le produit
scalaire ·, · · (idem pour F ), prendre l’adjointe de l ou sa transposée revient
au même. Lorsque E et F sont munies de bases orthonormales (comme c’est le
cas des espaces euclidiens (R n , ·, ··) munies de leurs bases canoniques), la matrice
représentant l’adjointe de l (= sa transposée) dans ces bases est la transposée de
la matrice représentant l.
: norme dans un espace vectoriel normé X. Si X est muni d’un produit
scalaire ·, ·· (exemples typiques : R n , M m,n (R)), et en l’absence d’autres précisions, ·· désignera la norme dérivée du produit scalaire (i.e. ·· =
·, ··).
Lorsqu’interviennent à la fois des normes de vecteurs et de matrices, on évite les
confusions en utilisant ·· pour les vecteurs et ||| · ||| pour les matrices).
int S ou
◦
S : intérieur de S ; S : adhérence de S ;
fr S : frontière de S.
B(x, r) : boule fermée de centre x et de rayon r.
Δ n : simplexe-unité de R n , c’est-à-dire l’ensemble des (α 1 , . . . , α n ) ∈ R n tels
que α 1 + . . . + α n = 1 et α i 0 pour tout i (coefficients qui servent dans la prise
de combinaisons convexes).
A ∈ S n (R) est dite (symétrique) semi-définie positive lorsque Ax, x 0
pour tout x ∈ R n [cette appellation est préférable à « positive » qui peut signifier,
dans certains cas, « à coefficients positifs »]. On désignera par P n (R) l’ensemble
des matrices semi-définies positives de taille n.
A ∈ S n (R) est dite (symétrique) définie positive lorsque Ax, x > 0 pour tout
x = 0 de R n (ce qui revient à : A semi-définie positive et inversible). On désignera
par
◦
P n (R) l’ensemble des matrices définies positives de taille n.
Le caractère de semi-définie ou définie positivité ne sera considéré dans ce
recueil que pour des matrices symétriques.
xi