III.4. Conditions de minimalité du second ordre
b) Maximiser le volume de E équivaut à maximiser
√
dét A, ou encore à
maximiser ln (dét A) .
Les contraintes du problème sont : A ∈
◦
P n (R) et
g i (A) := Aa i , a i − 1 0 pour tout i = 1, . . . , m.
En observant que Aa i , a i = A, a i a
i , où ·, · · désigne le produit
scalaire usuel dans S n (R) (rappel : U, V = tr(UV )), il est clair que les
g i sont des fonctions affines (de A), avec
∇g i (A) = a i a
i en tout A ∈ S n (R) .
La fonction f : A ∈
◦
P n (R) −→ f (A) := − ln(dét A) = ln(dét A −1 ) est
convexe (strictement même) et différentiable sur
◦
P n (R) (cf. Exercice 1.13 et
Exercice 1.4), avec
∇f (A) = −A
−1 en tout A ∈
◦
P n (R).
Le problème de la recherche d’un ellipsoïde E contenu dans P de volume
maximal revient donc à
(P)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Minimiser f (A)
A ∈
◦
P n (R)
g i (A) 0 pour tout i = 1, . . . , m.
C’est un problème de minimisation convexe différentiable avec contraintes
du type inégalités affines.
c) Soit ˜
E un ellipsoïde contenant P (un tel ellipsoïde existe puisque P est
borné) ; il est clair que les ellipsoïdes-candidats E à être solutions de (P) ont
un volume majoré par celui de ˜
E. De plus,
ln(dét A
−1 ) = − ln(dét A) → +∞ lorsque A ∈
◦
P n (R) → A 0 ∈ fr
◦
P n (R)
.
(la fonction A −→ − ln(dét A) joue le rôle de « fonction-barrière » ou de
« pénalisation intérieure » pour la contrainte « A ∈
◦
P n (R) »).
En conséquence (revoir l’Exercice II.1 si nécessaire), le problème (P) a une
solution au moins.
La stricte convexité de la fonction-objectif fait que cette solution est unique.
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