Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
d) Montrer que la solution A de (P) est caractérisée par les conditions suivantes :
(C)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
A ∈
◦
P n (R) ;
Aa i , a i
1 pour tout i = 1, . . . , m ;
Il existe des réels positifs μ 1 , . . . , μ m tels que :
A
−1 =
m
i=1
μ i a i a
i
μ i
Aa i , a i
− 1
= 0 pour tout i = 1, . . . , m.
e) A, μ 1 , . . . , μ m vérifiant les conditions de (C) . Montrer que
m
i=1
μ i = n.
f) Soit E l’ellipsoïde contenu dans P de volume maximal.
Démontrer l’encadrement suivant :
E ⊂ P ⊂
√
n E.
Solution : 1 ◦ ) Si B := A 1/2 ,
A −1 x, x
= A −1/2 x 2 , de sorte que l’inégalité
A −1 x, x
1 équivaut à A −1/2 x 1. Grâce au changement de variable
u := A −1/2 x, on voit que
A
−1/2 x 1
⇔ (x = Bu, u 1) .
E est ainsi l’image par B de la boule-unité fermée de R n .
Le volume de E est donc
dét Bπ
n/2 /Γ
n
2
+ 1
,
π n/2 /Γ
n
2 + 1
étant le volume de la boule-unité fermée de R n . Comme
dét B =
√
dét A, le volume de E est bien proportionnel à
√
dét A.
2 ◦ ) a) E ⊂ P signifie
| |a i , Bu | 1 pour tout u tel que u 1,
ce qui équivaut à
sup
u1
| |Ba i , u | = Ba i 1.
Mais Ba i 2 1 revient à Ba i , Ba i = Aa i , a i 1.
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