III.4. Conditions de minimalité du second ordre
3 ◦ ) Un maximum local x de f sur C doit nécessairement vérifier : ∇f (x) ∈
N (C, x). Deux points sont candidats : x 1 = (1, 0) et x 2 = (0, 0).
Comme f (x 1 ) = −
1
2 < 0 = f (x 2 ), on en déduit que x 2 = (0, 0) est le
maximum global de f sur C.
*** Exercice III.21. Soit P un polyèdre convexe fermé de R n , n 2, symétrique
par rapport à l’origine, décrit comme suit :
P := {x ∈ R
n
| −1 a i , x 1 pour tout i = 1, . . . , m} ,
où les a i sont des vecteurs de R n .
On suppose que P est borné et d’intérieur non vide.
Soit E un ellipsoïde plein (ou convexe compact elliptique) de R n , centré en
l’origine, décrit comme suit :
E :=
x ∈ R
n
|
A
−1 x, x
1
,
(3.12)
où A ∈ S n (R) est définie positive.
1 ◦ ) Montrer que E décrit en (3.12) est aussi {Bu | | u 1}, avec B :=
A 1/2 . En déduire que le volume de E est proportionnel à
√
dét A.
2 ◦ ) On considère le problème qui consiste à chercher l’ (ou les) ellipsoïde(s)
E contenu(s) dans P de volume maximal.
a) Montrer que l’inclusion E ⊂ P est traduite par les contraintes de type
inégalité
Aa i , a i 1 pour tout i = 1, . . . , m.
b) Vérifier que le problème de la recherche d’un ellipsoïde E contenu dans P
de volume maximal revient au problème de minimisation convexe différentiable
suivant (posé dans S n (R)) :
(P)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Minimiser ln(dét A −1 )
A ∈
◦
P n (R)
Aa i , a i 1 pour tout i = 1, . . . , m
où
◦
P n (R) désigne le cône convexe ouvert de S n (R) constitué des matrices
définies positives.
c) Montrer que (P) a une et une seule solution.
95