Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
(ii) Examinons successivement tous les cas de figure : x est sur l’une des
arêtes (1), (2), (3), puis x est l’un des sommets (1 − 2), (2 − 3), (1 − 3).
C
(1-3)
(2-3)
(2)
(3)
(1)
(1-2)
ξ 1
ξ 2
(1) : T (C, x) = {(d 1 , d 2 ) | d 1 + d 2 0} , [T (C, x)]
◦ = N (C, x) = R
+
1
1
.
(2) : T (C, x) = {(d 1 , d 2 ) | d 1 0} , N (C, x) = R
+
−1
0
.
(3) : T (C, x) = {(d 1 , d 2 ) | d 2 0} , N (C, x) = R
+
0
−1
.
(1 − 2) : T (C, x) = {(d 1 , d 2 ) | d 1 + d 2 0 et d 1 0} ,
N (C, x) =
μ 1
1
1
+ μ 2
−1
0
| μ 1 0, μ 2 0
.
(1 − 3) : T (C, x) = {(d 1 , d 2 ) | d 1 + d 2 0 et d 2 0} ,
N (C, x) =
μ 1
1
1
+ μ 2
0
−1
| μ 1 0, μ 2 0
.
(2 − 3) : T (C, x) = {(d 1 , d 2 ) | d 1 0 et d 2 0} ,
N (C, x) =
μ 1
−1
0
+ μ 2
0
−1
| μ 1 0, μ 2 0
.
La condition nécessaire du 1 er ordre que doit satisfaire un minimum (même
local) de f sur C est : −∇f (x) ∈ N (C, x). Or un seul point vérifie cette condition : il se trouve sur l’arête (1) de C et c’est x =
1
3
,
2
3
.
Par conséquent, x =
1
3 ,
2
3
est le seul point de C minimisant f sur C. La
valeur minimale de f sur C est f (x) = −
11
6 .
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