III.4. Conditions de minimalité du second ordre
2 ◦ ) Comme f (0, 0) = 0 et f (−3, 0) = −27, la seule solution de (P) est
x = (−3, 0), et la valeur optimale correspondante est f = −27.
On notera que ∇ 2 f (0, 0) =
0 0
0 2
, mais x n’est pas un minimum local de
f ; pas plus qu’il n’est un point-selle de f d’ailleurs.
* Exercice III.20. Soit C l’ensemble de R 2 défini par
C := {(ξ 1 , ξ 2 ) | ξ 1 + ξ 2 1, ξ 1 0, ξ 2 0} ,
et f : R 2 → R définie par f (ξ 1 , ξ 2 ) := −ξ 1 − 2ξ 2 − 2ξ 1 ξ 2 +
ξ 2
1
2 +
ξ 2
2
2 ·
1 ◦ ) La fonction f est-elle convexe ? concave ?
2 ◦ ) On considère le problème de la minimisation de f sur C.
(i) Montrer que tout minimum (même local) se trouve sur la frontière fr C
de C.
(ii) En explicitant T (C, x) (où [T (C, x)]
◦ = N (C, x)) en tout point x de
fr C, montrer qu’il n’existe qu’un point de C vérifiant la condition nécessaire
de minimalité du 1 er ordre. En déduire l’unique solution du problème de la
minimisation de f sur C.
3 ◦ ) Résoudre à présent le problème de la maximisation de f sur C.
Solution : 1 ◦ ) On a affaire à une fonction f quadratique qui n’est ni convexe
ni concave.
En effet, ∇ 2 f (ξ 1 , ξ 2 ) =
1 −2
−2 1
n’est ni semi-définie positive ni semidéfinie négative.
2 ◦ ) (i) Un minimum local (ou maximum local) x de f qui se trouverait
à l’intérieur de C devrait vérifier ∇f (x) = 0. Or le seul point x =
ξ 1 , ξ 2
vérifiant ∇f (x) =
−1 + ξ 1 − 2ξ 2
−2 − 2ξ 1 + ξ 2
= 0 est
−
5
3 , −
4
3
qui est à l’extérieur
de C.
Mais f étant continue et C compact, le problème de la minimisation de f
sur C (comme celui de la maximisation de f sur C) admet des solutions. Ces
solutions se trouvent donc nécessairement sur la frontière de C.
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2 ◦ ) Comme f (0, 0) = 0 et f (−3, 0) = −27, la seule solution de (P) est
x = (−3, 0), et la valeur optimale correspondante est f = −27.
On notera que ∇ 2 f (0, 0) =
0 0
0 2
, mais x n’est pas un minimum local de
f ; pas plus qu’il n’est un point-selle de f d’ailleurs.
* Exercice III.20. Soit C l’ensemble de R 2 défini par
C := {(ξ 1 , ξ 2 ) | ξ 1 + ξ 2 1, ξ 1 0, ξ 2 0} ,
et f : R 2 → R définie par f (ξ 1 , ξ 2 ) := −ξ 1 − 2ξ 2 − 2ξ 1 ξ 2 +
ξ 2
1
2 +
ξ 2
2
2 ·
1 ◦ ) La fonction f est-elle convexe ? concave ?
2 ◦ ) On considère le problème de la minimisation de f sur C.
(i) Montrer que tout minimum (même local) se trouve sur la frontière fr C
de C.
(ii) En explicitant T (C, x) (où [T (C, x)]
◦ = N (C, x)) en tout point x de
fr C, montrer qu’il n’existe qu’un point de C vérifiant la condition nécessaire
de minimalité du 1 er ordre. En déduire l’unique solution du problème de la
minimisation de f sur C.
3 ◦ ) Résoudre à présent le problème de la maximisation de f sur C.
Solution : 1 ◦ ) On a affaire à une fonction f quadratique qui n’est ni convexe
ni concave.
En effet, ∇ 2 f (ξ 1 , ξ 2 ) =
1 −2
−2 1
n’est ni semi-définie positive ni semidéfinie négative.
2 ◦ ) (i) Un minimum local (ou maximum local) x de f qui se trouverait
à l’intérieur de C devrait vérifier ∇f (x) = 0. Or le seul point x =
ξ 1 , ξ 2
vérifiant ∇f (x) =
−1 + ξ 1 − 2ξ 2
−2 − 2ξ 1 + ξ 2
= 0 est
−
5
3 , −
4
3
qui est à l’extérieur
de C.
Mais f étant continue et C compact, le problème de la minimisation de f
sur C (comme celui de la maximisation de f sur C) admet des solutions. Ces
solutions se trouvent donc nécessairement sur la frontière de C.
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