Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
2 e possibilité pour x : x =
1
2
, et (3.10) pour un certain μ 1 0.
Après quelques calculs, on constate que ceci n’a lieu que pour
a
4
3
, auquel cas :
μ 1 = a −
4
3
et x = −
a
2 a
·
En résumé :
– Si 0 < a <
4
3
, la solution de (P a ) est x = −
a
a 2
1+ a 2 − 1
, à
l’intérieur de C a ;
– Si a
4
3
, la solution de (P a ) est x = −
a
2a , sur la frontière de C a .
* Exercice III.19. On considère dans R 2 le problème de minimisation suivant :
(P)
Min f (ξ 1 , ξ 2 ) := ξ 3
1 + ξ 2
2
g (ξ 1 , ξ 2 ) := ξ 2
1 + ξ 2
2 − 9 0.
1 ◦ ) Déterminer les points vérifiant les conditions nécessaires de minimalité
du 1 er ordre.
2 ◦ ) En déduire les solutions de (P).
Solution : La fonction f n’étant pas convexe, (P) n’est pas un problème de
minimisation convexe.
1 ◦ ) La fonction g définissant la seule contrainte de type inégalité est
convexe ; de plus, il existe x 0 tel que g (x 0 ) < 0. En conséquence, une solution x =
ξ 1 , ξ 2
de (P) – et il y en a – vérifie les conditions nécessaires de
minimalité du 1 er ordre, à savoir :
∃ μ 0 tel que ∇f (x) + μ∇g (x) = 0 et μg (x) = 0,
soit
3ξ
2
1 + 2μξ 1 = 0, (1 + μ) ξ 2 = 0, μ = 0 si ξ
2
1 + ξ
2
2 − 9 < 0.
Il en ressort deux possibilités :
ξ 1 , ξ 2
= (0, 0) avec μ = 0,
ξ 1 , ξ 2
= (−3, 0) avec μ =
9
2
·
92