Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
d) En raison de ce qui a été dit en b), la solution A de (P) est caractérisée
par les conditions de KKT :
(C)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
A vérifie les contraintes du problème (P) ;
Il existe des réels positifs (μ 1 , . . . , μ m ) (les multiplicateurs
de Lagrange – KKT) tels que :
−
A
−1 +
m
i=1
μ i a i a
i = 0,
μ i
Aa i , a i
− 1
= 0 pour tout i = 1, . . . , m.
e) En pré-multipliant et en post-multipliant par
A
1/2 la relation
A
−1 =
m
i=1
μ i a i a
i , il vient :
I n =
m
i=1
μ i
A
1/2 a i a
i
A
1/2 ,
et, en prenant la trace,
n =
m
i=1
μ i
Aa i , a i
=
m
i=1
μ i d’après la dernière relation de (C).
f) E ⊂ P évidemment ; démontrons l’inclusion P ⊂
√ n E.
Soit x ∈ P , c’est-à-dire vérifiant ||x, a i | 1 pour tout i = 1, . . . , m ; il
nous faut démontrer que
A
−1 x
√ n
,
x
√ n
1 i.e.
A
−1 x, x
n.
Or
A
−1 =
m
i=1
μ i a i a
i de sorte que
A
−1 x, x
=
m
i=1
μ i a i , x
2
n
⎛
⎜
⎝
puisque a i , x
2
1
pour tout i = 1, ..., m et
m
i=1
μ i = n
⎞
⎟
⎠ .
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