III.4. Conditions de minimalité du second ordre
Si x vérifie les conditions de KKT, on définit c = (α 1 , . . . , α m , β 1 , . . . β p )
comme suit :
α i = λ i pour tout i = 1, . . . , m
β j = μ j si g j (x) = 0, β j = g j (x) si g j (x) < 0.
Alors F (x, c) = 0.
Réciproquement, soit (x, c), avec c = (α, β), tel que F (x, c) = 0. On a tout
d’abord :
h i (x) = 0 pour tout i = 1, . . . , m
g j (x) = β
−
j 0 pour tout j = 1, . . . , p.
Ensuite, posons
λ i = α i pour tout i = 1, . . . , m
μ j = β
+
j pour tout j = 1, . . . , p.
Alors
λ, μ
vérifie les conditions dans (i) , (ii) , (iii) énoncées plus haut.
Commentaire : On ramène ainsi la recherche des points vérifiant les conditions de
KKT à la résolution d’un système d’équations non linéaires, mais les fonctions non
linéaires intervenant dans les équations ne sont pas deux fois différentiables, ce
qui oblige à repenser des méthodes usuelles de résolution comme celle de Newton.
** Exercice III.18. Soit R n muni de son produit scalaire usuel ·, ·· et de la
norme euclidienne · · associée. Étant donné a ∈ R n , on considère
f a : Ω := {x ∈ R n : x < 1} → R
x −→ f a (x) := −ln
1− − x 2
+ a, x .
1 ◦ ) Montrer que f a est strictement convexe sur Ω.
2 ◦ ) On considère le problème de minimisation suivant :
(P a )
Minimiser f a (x)
x ∈ C a :=
x ∈ R n : x
1
2 et a, x 0
.
a) Résoudre (P a ) pour a = 0.
b) On suppose a = 0 et on désigne par x la solution de (P a ).
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