Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
Montrer que a, x < 0 nécessairement et donc que le multiplicateur μ 2
associé à cette contrainte est nul.
En distinguant selon que la contrainte x
1
2
est active ou pas en x,
déterminer x et le multiplicateur μ 1 associé à cette contrainte (on sera amené à
discuter sur les valeurs prises par a ).
Solution : 1 ◦ ) Il y a au moins deux façons de montrer que f a est strictement
convexe sur l’ouvert convexe Ω.
(i) La fonction x −→ ϕ (x) := 1− − x 2 est strictement concave sur Ω ; la
fonction y −→ ψ(y) := − ln y est strictement décroissante et convexe sur R +
∗ .
Par suite, la fonction ψ ◦ ϕ : x −→ − ln(1− − x 2 ) est strictement convexe sur
Ω ; en effet :
∀α ∈ ]0, 1[, ∀x, x
∈ Ω, x = x
,
ϕ
αx + (1 − α) x
> αϕ (x) + (1 − α) ϕ
x
;
d’où
(ψ ◦ ϕ)
αx + (1 − α) x
ψ
αϕ (x) + (1 − α) ϕ
x
α (ψ ◦ ϕ) (x) + (1 − α) (ψ ◦ ϕ)
x
.
(ii) La fonction f a est deux fois différentiable sur Ω avec :
∀x ∈ Ω, ∇
2 f a (x) =
4
(1− − x 2 )
2 xx
+
2
1− − x 2 I n .
Ainsi :
∀d ∈ R n ,
∇ 2 f a (x) d, d
=
4
(1−−x 2 )
2 x, d
2 +
2
1−−x 2 d 2 0 ;
∇ 2 f a (x) d, d
> 0 si d = 0.
∇ 2 f a (x) est définie positive pour tout x ∈ Ω : f a est donc strictement
convexe sur Ω. S’il y a une solution dans (P a ) elle est unique.
2 ◦ ) a) Il s’agit de minimiser f 0 (x) := − ln(1 − − x 2 ) sur le convexe
compact C 0 :=
x ∈ R n | | x
1
2
⊂ Ω. On peut considérer que C 0 est représenté sous forme d’une inégalité : g 1 (x) := x 2 −
1
4 0. Comme il existe
x 0 tel que g 1 (x 0 ) < 0 (prendre x 0 = 0 par exemple), la solution x de (P 0 ) est
caractérisée par l’existence de μ 1 0 tel que :
∇f 0 (x) + μ 1 ∇g 1 (x) = 0,
μ 1 = 0 si g 1 (x) < 0.
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