Chapitre III. Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité
Étant donné x ∈ R n et c = (α 1 , . . . , α m , β 1 , . . . β p ) ∈ R m × R p , on pose
F (x, c) :=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∇f (x) +
m
i=1
α i ∇h i (x)+
p
j=1
β
+
j ∇g j (x)
h 1 (x)
h 2 (x)
. . .
h m (x)
−g 1 (x) + β
−
1
−g 2 (x) + β
−
2
. . .
−g p (x) + β −
p
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ R
n
× R
m
× R
p
où β
+
j := max (0, β j ) et β
−
j := min (0, β j ).
1 ◦ ) F est-elle continue ? différentiable ? Donner des conditions suffisantes
portant sur les données du problème de minimisation pour que F soit localement
lipschitzienne.
2 ◦ ) Montrer que x vérifie les conditions de KKT si, et seulement si, il existe
c = (α 1 , . . . , α m , β 1 , . . . , β p ) tel que F (x, c) = 0.
Solution : 1 ◦ ) F est continue, mais n’est pas différentiable (à cause des fonctions β j −→ β
+
j et β j −→ β
−
j qui ne sont pas différentiables en 0).
Les fonctions f, h i , g j étant de classe C 1 , elles sont localement lipschitziennes (comme fonctions de x, donc de (x, c)) ; par ailleurs les fonctions
β j −→ β
+
j et β j −→ β
−
j sont lipschitziennes. Par conséquent, F sera localement lipschtzienne sur R n × R m × R p dès lors que les ∇f, ∇h i , et ∇g j sont
localement lipschitziennes sur R n .
2 ◦ ) Rappelons que x vérifie les conditions de KKT si h i (x) = 0 pour tout
i, g j (x) 0 pour tout j, et s’il existe
λ, μ
∈ R m × R p tel que :
(i) ∇f (x) +
m
i=1
λ i ∇h i (x) +
p
j=1
μ j ∇g j (x) = 0
(ii) μ j 0 pour tout j = 1, . . . , p
(iii) μ j = 0 lorsque g j (x) < 0, j = 1, . . . , p.
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