Si t est assez petit, alors 1 − e
−λt
∼ λt donc r ∼ cλt ; dans ce cas, tout se passe comme
si la constante de désintégration était cλ et qu’on pouvait observer la totalité des
désintégrations.
La loi des grands nombres
Répétons un grand nombre d’épreuves indépendantes pour un événement se produisant avec la probabilité p. Pour un nombre d’épreuves n fixé, la fréquence
d’apparition de l’événement est une variable aléatoire : si l’événement s’est produit
k fois, sa fréquence est f n = k/n.
Si ε est un nombre entre 0 et 1, on note P
|f n −p| < ε
la probabilité pour que f n
soit comprise entre p − ε et p + ε.
La loi des grands nombres affirme que
P
|f n −p| < ε
tend vers 1 quand n tend vers l’infini.
Pour rendre plus précise cette affirmation, donnons-nous un nombre δ entre 0 et 1
et cherchons à partir de quelle valeur de n on aura l’inégalité P
|f n −p| < ε
> 1 − δ.
Par définition, la probabilité P
|f n −p| < ε
est la somme a n =
|k/n−p|<ε
n
k
p
k (1 − p)
n−k .
En posant b n =
|k/n−p|ε
n
k
p
k (1 − p)
n−k , il vient a n + b n = 1. D’après la définition
de la variance, on a aussi np(1 − p) = V
|k/n−p|ε
|k − np|
2
n
k
p
k (1 − p)
n−k ; dans la
somme, chaque facteur |k − np| = n|k/n − p| est supérieur ou égal à nε, donc
np(1 − p) n
2 ε
2
|k/n−p|ε
n
k
p
k (1 − p)
n−k = n
2 ε
2 b n = n
2 ε
2 (1 − a n ) .
On en déduit a n 1 −
p(1−p)
nε
2
. Pour tout entier n supérieur à
p(1−p)
δε
2
, on a
p(1−p)
nε
2
< δ,
donc a n > 1−δ.
Puisqu’on a 0 < p < 1, le produit p(1−p) ne peut dépasser 1/4 qui est le maximum
de la fonction x(1−x) quand x parcourt l’intervalle [0, 1]. Si l’on prend n > 1
4δε
2
, on
aura aussi n >
p(1−p)
δε
2
et par conséquent P
|f n −p| < ε
> 1−δ.
1.5 Espérance et variance d'une variable aléatoire discrète
Rappelons la définition générale de l’espérance et de la variance d’une variable
aléatoire définie sur un ensemble fini d’événements.
Définitions
Soit Y une variable aléatoire prenant les valeurs y 1 , y 2 , . . . , y n . Notons p i la probabilité pour que Y prenne la valeur y i , probabilité qu’on note aussi P (Y = y i ).
® L’espérance de Y est le nombre E(Y ) =
n
i=1 y i p i .
Chapitre 3 – D ´
ENOMBREMENT, PERMUTATIONS, GRAPHES – 69
−λt
∼ λt donc r ∼ cλt ; dans ce cas, tout se passe comme
si la constante de désintégration était cλ et qu’on pouvait observer la totalité des
désintégrations.
La loi des grands nombres
Répétons un grand nombre d’épreuves indépendantes pour un événement se produisant avec la probabilité p. Pour un nombre d’épreuves n fixé, la fréquence
d’apparition de l’événement est une variable aléatoire : si l’événement s’est produit
k fois, sa fréquence est f n = k/n.
Si ε est un nombre entre 0 et 1, on note P
|f n −p| < ε
la probabilité pour que f n
soit comprise entre p − ε et p + ε.
La loi des grands nombres affirme que
P
|f n −p| < ε
tend vers 1 quand n tend vers l’infini.
Pour rendre plus précise cette affirmation, donnons-nous un nombre δ entre 0 et 1
et cherchons à partir de quelle valeur de n on aura l’inégalité P
|f n −p| < ε
> 1 − δ.
Par définition, la probabilité P
|f n −p| < ε
est la somme a n =
|k/n−p|<ε
n
k
p
k (1 − p)
n−k .
En posant b n =
|k/n−p|ε
n
k
p
k (1 − p)
n−k , il vient a n + b n = 1. D’après la définition
de la variance, on a aussi np(1 − p) = V
|k/n−p|ε
|k − np|
2
n
k
p
k (1 − p)
n−k ; dans la
somme, chaque facteur |k − np| = n|k/n − p| est supérieur ou égal à nε, donc
np(1 − p) n
2 ε
2
|k/n−p|ε
n
k
p
k (1 − p)
n−k = n
2 ε
2 b n = n
2 ε
2 (1 − a n ) .
On en déduit a n 1 −
p(1−p)
nε
2
. Pour tout entier n supérieur à
p(1−p)
δε
2
, on a
p(1−p)
nε
2
< δ,
donc a n > 1−δ.
Puisqu’on a 0 < p < 1, le produit p(1−p) ne peut dépasser 1/4 qui est le maximum
de la fonction x(1−x) quand x parcourt l’intervalle [0, 1]. Si l’on prend n > 1
4δε
2
, on
aura aussi n >
p(1−p)
δε
2
et par conséquent P
|f n −p| < ε
> 1−δ.
1.5 Espérance et variance d'une variable aléatoire discrète
Rappelons la définition générale de l’espérance et de la variance d’une variable
aléatoire définie sur un ensemble fini d’événements.
Définitions
Soit Y une variable aléatoire prenant les valeurs y 1 , y 2 , . . . , y n . Notons p i la probabilité pour que Y prenne la valeur y i , probabilité qu’on note aussi P (Y = y i ).
® L’espérance de Y est le nombre E(Y ) =
n
i=1 y i p i .
Chapitre 3 – D ´
ENOMBREMENT, PERMUTATIONS, GRAPHES – 69