® La variance de Y est l’espérance de la variable aléatoire
Y − E(Y )
2 , c’est-à-dire
le nombre V (Y ) =
n
i=1 (y i − m)
2 p i , où m = E(Y ). Le nombre
V (Y ) est
l’écart-type.
Propriétés de l'espérance et de la variance. Soient Y et Z des variables aléatoires prenant au plus un nombre fini de valeurs et soient a, b des nombres.
i) E(aY + bZ) = aE(Y ) + bE(Z)
ii) V (Y ) = E(Y
2 ) −
E(Y )
2
iii) V (aY + b) = a
2 V (Y ).
Démonstration. En notant Ω l’ensemble des événements, l’espérance de Y est par définition
E(Y ) =
ω∈Ω Y (ω)P (ω), où P (ω)est la probabilité de l’événement ω. On a donc
E(aY + bZ) =
ω∈Ω
aY (ω) + bZ(ω)
P (ω) = a
ω∈Ω
Y (ω)P (ω)+b
ω∈Ω
Z(ω)P (ω) = aE(Y )+bE(Z)
En posant m = E(Y ), on a (Y − m)
2 = Y
2
− 2mY + m
2 et en prenant l’espérance, il vient
V (Y ) = E
(Y − m)
2
= E(Y
2 ) − 2mE(Y ) + m
2 = E(Y
2 ) − m
2 , ce qui est l’égalité (ii). Enfin, on
a E(aY + b) = am + b et (aY + b) − E(aY + b) = a(Y − m), d’où V (aY + b) = E
(a
2 (Y − m)
2
=
a
2 E
(Y − m)
2
= a
2 V (Y ).
2. Permutations
Nous allons étudier plus précisément les transformations bijectives d’un ensemble fini.
Définition
Une transformation bijective d’un ensemble fini E s’appelle une permutation de E .
On note S (E) l’ensemble des permutations de E et si n est un entier au moins
égal à 2, on note S n l’ensemble des permutations de {1, 2, . . . , n}. L’ensemble S n
est un groupe de transformations appelé groupe des permutations.
Nous avons montré page 60 que si E possède n éléments, alors le groupe S (E)
possède n! éléments.
Pour étudier les permutations d’un ensemble E à n éléments, il suffit évidemment
de considérer les permutations de l’ensemble {1, . . . , n}. Supposons donc désormais
E = {1,. . .,n}, où n 2, et commençons par étudier les permutations les plus simples.
2.1 Les cycles
Soient p un entier tel que 2 p n et a 1 ,a 2 ,. . .,a p des entiers deux à deux différents
appartenant à l’ensemble E ={1,. . .,n}. Définissons une permutation c de E en posant
c(a i ) = a i+1 si 1 i p − 1 , c(a p ) = a 1 et c(k) = k si k ∈ {a 1 , . . . , a p }.
70 – PERMUTATIONS
Y − E(Y )
2 , c’est-à-dire
le nombre V (Y ) =
n
i=1 (y i − m)
2 p i , où m = E(Y ). Le nombre
V (Y ) est
l’écart-type.
Propriétés de l'espérance et de la variance. Soient Y et Z des variables aléatoires prenant au plus un nombre fini de valeurs et soient a, b des nombres.
i) E(aY + bZ) = aE(Y ) + bE(Z)
ii) V (Y ) = E(Y
2 ) −
E(Y )
2
iii) V (aY + b) = a
2 V (Y ).
Démonstration. En notant Ω l’ensemble des événements, l’espérance de Y est par définition
E(Y ) =
ω∈Ω Y (ω)P (ω), où P (ω)est la probabilité de l’événement ω. On a donc
E(aY + bZ) =
ω∈Ω
aY (ω) + bZ(ω)
P (ω) = a
ω∈Ω
Y (ω)P (ω)+b
ω∈Ω
Z(ω)P (ω) = aE(Y )+bE(Z)
En posant m = E(Y ), on a (Y − m)
2 = Y
2
− 2mY + m
2 et en prenant l’espérance, il vient
V (Y ) = E
(Y − m)
2
= E(Y
2 ) − 2mE(Y ) + m
2 = E(Y
2 ) − m
2 , ce qui est l’égalité (ii). Enfin, on
a E(aY + b) = am + b et (aY + b) − E(aY + b) = a(Y − m), d’où V (aY + b) = E
(a
2 (Y − m)
2
=
a
2 E
(Y − m)
2
= a
2 V (Y ).
2. Permutations
Nous allons étudier plus précisément les transformations bijectives d’un ensemble fini.
Définition
Une transformation bijective d’un ensemble fini E s’appelle une permutation de E .
On note S (E) l’ensemble des permutations de E et si n est un entier au moins
égal à 2, on note S n l’ensemble des permutations de {1, 2, . . . , n}. L’ensemble S n
est un groupe de transformations appelé groupe des permutations.
Nous avons montré page 60 que si E possède n éléments, alors le groupe S (E)
possède n! éléments.
Pour étudier les permutations d’un ensemble E à n éléments, il suffit évidemment
de considérer les permutations de l’ensemble {1, . . . , n}. Supposons donc désormais
E = {1,. . .,n}, où n 2, et commençons par étudier les permutations les plus simples.
2.1 Les cycles
Soient p un entier tel que 2 p n et a 1 ,a 2 ,. . .,a p des entiers deux à deux différents
appartenant à l’ensemble E ={1,. . .,n}. Définissons une permutation c de E en posant
c(a i ) = a i+1 si 1 i p − 1 , c(a p ) = a 1 et c(k) = k si k ∈ {a 1 , . . . , a p }.
70 – PERMUTATIONS