que l’on a
V = np(1 − p)
En utilisant l’identité k
2 = k(k − 1) + k, il vient (k − np)
2 = k(k − 1) + (1 − 2np)k + n
2 p
2
et en posant s =
n
k=2
k(k − 1)P (k), on obtient V = s + (1 − 2np)E + n
2 p
2 = s + np − n
2 p
2 .
Puisque k(k − 1)
n
k
= n(n − 1)
n−2
k−2
, on a s = n(n − 1)p
2
n
k=2
n−2
k−2
p
k−2 (1 − p)
n−k ;
comme la somme vaut
p + (1−p)
n−2 = 1 d’après la formule du binôme, on trouve
finalement V = n(n − 1)p
2 + np − n
2 p
2 = −np
2 + np = np(1 − p).
Exemple. La désintégration d’une substance radioactive est régie par la loi suivante : s’il y a N atomes au départ, la probabilité pour que n d’entre eux se
désintègrent pendant l’intervalle de temps [0, t] est
N
n
(1 − e
−λt )
n e
−λt(N −n) , où la
constante de désintégration λ est un nombre positif caractéristique de la substance.
Il s’agit donc d’une loi binomiale de probabilité e
−λt .
Supposons qu’on a la probabilité c de détecter une désintégration (c dépend de
la position du compteur par rapport au matériel radioactif). Sur n désintégrations
produites, la probabilité d’en détecter k est
n
k
c
k (1 − c)
n−k .
Soit X la variable aléatoire : nombre de désintégrations observées pendant l’intervalle
de temps [0, t]. La probabilité pour que ce nombre soit k est
P (X = k) =
N
n=k
N
n
(1 − e
−λt )
n e
−λt(N −n)
n
k
c
k (1 − c)
n−k
Comme on a
N
n
n
k
=
N
k
N −k
n−k
, il vient
P (X = k) =
N
k
c
k (1 − e
−λt )
k
N
n=k
N −k
n−k
(1 − e
−λt )
n−k (1 − c)
n−k e
λt(n−k) e
−λt(N −k)
=
N
k
c
k (1 − e
−λt )
k e
−λt(N −k)
N −k
i=0
N −k
i
(1 − e
−λt )
i (1 − c)
i (e
λt )
i
(on a sorti de la somme des facteurs qui ne dépendent pas de n et l’on a fait le changement d’indice i = n − k). En posant a = (1 − e
−λt )(1 − c)e
λt = −1 + e
λt + c(1 − e
λt ),
la somme s’écrit (formule du binôme)
N −k
i=0
N −k
i
a
i = (1 + a)
N −k =
e
λt + c(1 − e
λt )
N −k .
On a ainsi
P (X = k) =
N
k
c
k (1 − e
−λt )
k (e
−λt )
N −k
e
λt + c(1 − e
λt )
N −k
=
N
k
c
k (1 − e
−λt )
k
1 − c(1 − e
−λt )
N −k =
N
k
r
k (1 − r)
N −k ,
où r = c(1 − e
−λt ). La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de probabilité
r : pendant l’intervalle de temps [0, t], on peut espérer détecter E(t) = Nc(1 − e
−λt )
désintégrations ; en mesurant un rapport E(t 2 )/E(t 1 ), il est possible de calculer la
constante de désintégration λ caractéristique de la substance radioactive.
68 – ENSEMBLES FINIS