Exemple
® Sur les 3
4 = 81 applications de {1, 2, 3, 4} dans {1, 2, 3}, il y en a 3
4
− 3 × 2
4 + 3 =
81 − 3 × 16 + 3 = 36 dont l’image est l’ensemble {1, 2, 3}.
® Si n = p, les applications f de E dans F telles que f (E) = F sont les bijections :
on sait qu’il y en a n! .
1.4 Probabilité binomiale et loi des grands nombres
Supposons qu’au cours d’épreuves indépendantes, un événement se produit avec la
probabilité p (p est un nombre réel tel que 0 p 1).
Numérotons les épreuves de 1 à n et donnons-nous une partie A à k éléments
de l’ensemble {1, 2, . . . , n}. Pour que l’événement se produise exactement quand le
numéro de l’épreuve est dans A, la probabilité est p
k (1 − p)
n−k . Comme il y a
n
k
parties à k éléments, on en déduit que la probabilité pour que l’événement se produise
exactement k fois en n épreuves est
k
n = 10, p = 0,4
k
n = 10, p = 0,8
P (k) =
n
k
p
k (1 − p)
n−k .
Pour n et p fixés, les points de coordonnées
k, P (k)
se trouvent sur une courbe en forme
de cloche.
Par définition des probabilités P (k), on a bien
sûr P (0)+P (1)+· · ·+P (n) = 1, égalité qui n’est autre que l’identité
p + (1−p)
n =1.
Notons X la variable aléatoire : nombre de fois que l’événement se produit en n
épreuves.
L'espérance. L’espérance de X est le nombre E=0P (0)+1P (1)+2P (2)+· · ·+nP (n).
Intuitivement, l’espérance est le nombre de succès auquel on peut s’attendre au cours
des n épreuves.
Puisqu’on a k
n
k
=n
n−1
k−1
, il vient E=
n
k=0
k
n
k
p
k (1−p)
n−k =np
n
k=1
n−1
k−1
p
k−1 (1−p)
n−k .
D’après la formule du binôme, on a
n
k=1
n−1
k−1
p
k−1 (1−p)
n−k =
1+(1−p)
n−1 =1, d’où
E = np
C’est pour l’entier k le plus proche de E que P (k) est maximum (voir les courbes
ci-dessus).
La variance. La variance de X est le nombre V =
n
k=0
(k − E)
2 P (k), autrement dit
l’espérance de la variable aléatoire (X − E)
2 (carré de l’écart à l’espérance). Comme
indice de dispersion des résultats, on choisit souvent l’écart-type σ =
√
V . Montrons
Chapitre 3 – D ´
ENOMBREMENT, PERMUTATIONS, GRAPHES – 67
® Sur les 3
4 = 81 applications de {1, 2, 3, 4} dans {1, 2, 3}, il y en a 3
4
− 3 × 2
4 + 3 =
81 − 3 × 16 + 3 = 36 dont l’image est l’ensemble {1, 2, 3}.
® Si n = p, les applications f de E dans F telles que f (E) = F sont les bijections :
on sait qu’il y en a n! .
1.4 Probabilité binomiale et loi des grands nombres
Supposons qu’au cours d’épreuves indépendantes, un événement se produit avec la
probabilité p (p est un nombre réel tel que 0 p 1).
Numérotons les épreuves de 1 à n et donnons-nous une partie A à k éléments
de l’ensemble {1, 2, . . . , n}. Pour que l’événement se produise exactement quand le
numéro de l’épreuve est dans A, la probabilité est p
k (1 − p)
n−k . Comme il y a
n
k
parties à k éléments, on en déduit que la probabilité pour que l’événement se produise
exactement k fois en n épreuves est
k
n = 10, p = 0,4
k
n = 10, p = 0,8
P (k) =
n
k
p
k (1 − p)
n−k .
Pour n et p fixés, les points de coordonnées
k, P (k)
se trouvent sur une courbe en forme
de cloche.
Par définition des probabilités P (k), on a bien
sûr P (0)+P (1)+· · ·+P (n) = 1, égalité qui n’est autre que l’identité
p + (1−p)
n =1.
Notons X la variable aléatoire : nombre de fois que l’événement se produit en n
épreuves.
L'espérance. L’espérance de X est le nombre E=0P (0)+1P (1)+2P (2)+· · ·+nP (n).
Intuitivement, l’espérance est le nombre de succès auquel on peut s’attendre au cours
des n épreuves.
Puisqu’on a k
n
k
=n
n−1
k−1
, il vient E=
n
k=0
k
n
k
p
k (1−p)
n−k =np
n
k=1
n−1
k−1
p
k−1 (1−p)
n−k .
D’après la formule du binôme, on a
n
k=1
n−1
k−1
p
k−1 (1−p)
n−k =
1+(1−p)
n−1 =1, d’où
E = np
C’est pour l’entier k le plus proche de E que P (k) est maximum (voir les courbes
ci-dessus).
La variance. La variance de X est le nombre V =
n
k=0
(k − E)
2 P (k), autrement dit
l’espérance de la variable aléatoire (X − E)
2 (carré de l’écart à l’espérance). Comme
indice de dispersion des résultats, on choisit souvent l’écart-type σ =
√
V . Montrons
Chapitre 3 – D ´
ENOMBREMENT, PERMUTATIONS, GRAPHES – 67