c) Pour tous entiers relatifs k et n, notons P k,n l’image de P par la translation du
vecteur d’affixe k i +nu.
(i) Quels sont les couples (k, n) correspondant à des hexagones P k,n ayant avec
P un coté en commun ?
(ii) Montrer que les intérieurs des hexagones P k,n forment un pavage du plan. Quelle
est la distance entre les centres de deux hexagones ayant un coté en commun ?
8
@ . Expression d'une symétrie à l'aide des nombres complexes. On se place dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé. Soit D une droite passant par l’origine O et
soit a l’affixe d’un vecteur directeur de D. Pour tout z ∈ C, on pose s(z) = az/a
et si M est un point d’affixe z, on note M
le point d’affixe s(z).
a) Montrer que si M ∈ D, alors M
= M .
b) Montrer que le vecteur d’affixe a i est orthogonal à D.
c) Montrer que si le vecteur
− − − − − − − →
OM est orthogonal à D, alors
− − − − − − − − →
OM
est orthogonal à D.
d) En déduire que M
est le symétrique de M par rapport à D.
9
@ . Polynôme de degré 3 ayant une racine multiple. Soit le polynôme P = z
3 + pz + q, où
p et q sont des nombres réels ou complexes.
a) On suppose que P a une racine multiple a. Démontrer les égalités a
2 = −p/3 et
a(−p/3) + ap + q = 0. En déduire que l’on a 4p
3 + 27q
2 = 0.
b) Supposons 4p
3 + 27q
2 = 0.
(i) Soit a une racine carrée de −p/3. Montrer que q/2 = ±a
3 et que P (a) = q − 2a
3 .
(ii) En déduire que a ou −a est racine multiple de P .
10. Factorisations de polynômes
a) Soit le polynôme P = 4z
4
− 12z
3 + 17z
2
− 24z + 18. Effectuer la division de P par
le polynôme z
2 + 2. En déduire les racines de P .
b) Montrer que 1 et −1 sont racines multiples du polynôme Q=3z
5 +z
4
−6z
3
−2z
2 +3z+1.
Trouver toutes les racines de Q.
c) Trouver un polynôme R de degré inférieur ou égal à 2 tel que z
4
−5z
3 +5z
2 +3z+7−R
soit multiple du polynôme (z − 3)
2 .
11. Soient p et q des nombres réels. Notons z 1 et z 2 les solutions de l’équation
z
2 + pz + q = 0. Montrer que z 1 et z 2 sont de parties réelles strictement négatives si
et seulement si p et q sont strictement positifs (on distinguera le cas où les racines
sont réelles du cas où elles ne le sont pas).
12
@ . Fonctions du second degré à deux variables. Soient p et q des nombres réels et soit
f : R
2
→ R la fonction définie par f (x, y) = x
2 + 2pxy + qy
2 .
a) On suppose p
2 < q. Montrer que f (x, y) est strictement positif si x ou si y n’est
pas nul. Quelle est la valeur minimum de la fonction f ?
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 55
vecteur d’affixe k i +nu.
(i) Quels sont les couples (k, n) correspondant à des hexagones P k,n ayant avec
P un coté en commun ?
(ii) Montrer que les intérieurs des hexagones P k,n forment un pavage du plan. Quelle
est la distance entre les centres de deux hexagones ayant un coté en commun ?
8
@ . Expression d'une symétrie à l'aide des nombres complexes. On se place dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé. Soit D une droite passant par l’origine O et
soit a l’affixe d’un vecteur directeur de D. Pour tout z ∈ C, on pose s(z) = az/a
et si M est un point d’affixe z, on note M
le point d’affixe s(z).
a) Montrer que si M ∈ D, alors M
= M .
b) Montrer que le vecteur d’affixe a i est orthogonal à D.
c) Montrer que si le vecteur
− − − − − − − →
OM est orthogonal à D, alors
− − − − − − − − →
OM
est orthogonal à D.
d) En déduire que M
est le symétrique de M par rapport à D.
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@ . Polynôme de degré 3 ayant une racine multiple. Soit le polynôme P = z
3 + pz + q, où
p et q sont des nombres réels ou complexes.
a) On suppose que P a une racine multiple a. Démontrer les égalités a
2 = −p/3 et
a(−p/3) + ap + q = 0. En déduire que l’on a 4p
3 + 27q
2 = 0.
b) Supposons 4p
3 + 27q
2 = 0.
(i) Soit a une racine carrée de −p/3. Montrer que q/2 = ±a
3 et que P (a) = q − 2a
3 .
(ii) En déduire que a ou −a est racine multiple de P .
10. Factorisations de polynômes
a) Soit le polynôme P = 4z
4
− 12z
3 + 17z
2
− 24z + 18. Effectuer la division de P par
le polynôme z
2 + 2. En déduire les racines de P .
b) Montrer que 1 et −1 sont racines multiples du polynôme Q=3z
5 +z
4
−6z
3
−2z
2 +3z+1.
Trouver toutes les racines de Q.
c) Trouver un polynôme R de degré inférieur ou égal à 2 tel que z
4
−5z
3 +5z
2 +3z+7−R
soit multiple du polynôme (z − 3)
2 .
11. Soient p et q des nombres réels. Notons z 1 et z 2 les solutions de l’équation
z
2 + pz + q = 0. Montrer que z 1 et z 2 sont de parties réelles strictement négatives si
et seulement si p et q sont strictement positifs (on distinguera le cas où les racines
sont réelles du cas où elles ne le sont pas).
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@ . Fonctions du second degré à deux variables. Soient p et q des nombres réels et soit
f : R
2
→ R la fonction définie par f (x, y) = x
2 + 2pxy + qy
2 .
a) On suppose p
2 < q. Montrer que f (x, y) est strictement positif si x ou si y n’est
pas nul. Quelle est la valeur minimum de la fonction f ?
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 55