4
@ . Mesures du pentagone régulier
a) Démontrer l’identité cos 5a = cos
5 a − 10 cos
3 a sin
2 a + 5 cos a sin
4 a en utilisant la
formule de Moivre. En déduire que les nombres cos(2π/5) et cos(4π/5) sont
racines du polynôme P = 16z
5
− 20z
3 + 5z − 1.
b) Montrer que P = (z − 1)(4z
2 + 2z − 1)
2 . En déduire cos(2π/5) =
√
5−1
4
.
c) Montrer que le coté du pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon R a
pour longueur R
5 −
√
5
2
. Pour une construction géométrique du pentagone, voir
à la fin des exercices.
d) Montrer que cos(π/5) =
√
5+1
4
(utiliser la valeur connue de cos(2π/5)).
5
@ . a) Soient a, b, c des nombres complexes de module 1 tels que a + b + c = 0.
(i) Montrer que l’on a 1 + 2 Re(ab) = 0.
(ii) En déduire que l’argument de b/a est égal à 2π/3 ou à 4π/3.
b) Soient
→
u,
→
v et
− →
w des vecteurs du plan euclidien. On suppose que ces vecteurs
sont de même module non nul et que leur somme est nulle. Montrer qu’entre
deux de ces vecteurs, l’angle mesure 120 degrés.
6.
E
Cet exercice est une application du précédent. On considère le dispositif mécanique ci-contre formé de trois poulies et de fils où sont
suspendues des masses égales.
a) Montrer qu’au point d’équilibre E , les tensions sur tous
les fils ont le même module.
b) En déduire l’angle au point E entre les directions des fils.
c) On rappelle que si P , Q, R sont trois points d’un cercle
de centre O, « l’angle inscrit »
P Q, P R vaut, à 180 degrés près, la moitié de « l’angle au centre »
OQ, OR. En déduire une construction
géométrique du point d’équilibre E .
7. Pavage hexagonal. On se place dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé.
Soit P l’hexagone régulier inscrit dans le cercle de rayon 1 centré à l’origine et
ayant deux cotés parallèles à l’axe Ox.
a) Quelles sont les affixes des sommets de P ? Quelle est la longueur
du coté de P ?
b) Soit P
l’image de P par la translation de vecteur d’affixe 3 et soit
P
l’image de P par la translation de vecteur d’affixe u = 1 + e
i π/3 .
Montrer que P
a un coté en commun avec chacun des hexagones
P et P
.
54 – EXERCICES
@ . Mesures du pentagone régulier
a) Démontrer l’identité cos 5a = cos
5 a − 10 cos
3 a sin
2 a + 5 cos a sin
4 a en utilisant la
formule de Moivre. En déduire que les nombres cos(2π/5) et cos(4π/5) sont
racines du polynôme P = 16z
5
− 20z
3 + 5z − 1.
b) Montrer que P = (z − 1)(4z
2 + 2z − 1)
2 . En déduire cos(2π/5) =
√
5−1
4
.
c) Montrer que le coté du pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon R a
pour longueur R
5 −
√
5
2
. Pour une construction géométrique du pentagone, voir
à la fin des exercices.
d) Montrer que cos(π/5) =
√
5+1
4
(utiliser la valeur connue de cos(2π/5)).
5
@ . a) Soient a, b, c des nombres complexes de module 1 tels que a + b + c = 0.
(i) Montrer que l’on a 1 + 2 Re(ab) = 0.
(ii) En déduire que l’argument de b/a est égal à 2π/3 ou à 4π/3.
b) Soient
→
u,
→
v et
− →
w des vecteurs du plan euclidien. On suppose que ces vecteurs
sont de même module non nul et que leur somme est nulle. Montrer qu’entre
deux de ces vecteurs, l’angle mesure 120 degrés.
6.
E
Cet exercice est une application du précédent. On considère le dispositif mécanique ci-contre formé de trois poulies et de fils où sont
suspendues des masses égales.
a) Montrer qu’au point d’équilibre E , les tensions sur tous
les fils ont le même module.
b) En déduire l’angle au point E entre les directions des fils.
c) On rappelle que si P , Q, R sont trois points d’un cercle
de centre O, « l’angle inscrit »
P Q, P R vaut, à 180 degrés près, la moitié de « l’angle au centre »
OQ, OR. En déduire une construction
géométrique du point d’équilibre E .
7. Pavage hexagonal. On se place dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé.
Soit P l’hexagone régulier inscrit dans le cercle de rayon 1 centré à l’origine et
ayant deux cotés parallèles à l’axe Ox.
a) Quelles sont les affixes des sommets de P ? Quelle est la longueur
du coté de P ?
b) Soit P
l’image de P par la translation de vecteur d’affixe 3 et soit
P
l’image de P par la translation de vecteur d’affixe u = 1 + e
i π/3 .
Montrer que P
a un coté en commun avec chacun des hexagones
P et P
.
54 – EXERCICES