Exercices
1
@ . Les transformations homographiques. On ajoute à l’ensemble C des nombres complexes
un élément ∞ qui n’est pas un nombre et l’on note C = C ∪ {∞} l’ensemble obtenu.
Soient u, v, c, d des nombres complexes tels que c = 0 et v = 0 et soit f : C → C
l’application définie en posant
f (z) = u + v
cz + d
si z ∈ C \ {−d/c} , f (−d/c) = ∞ et f (∞) = u.
a) Montrer que f est une transformation bijective de C .
b) Montrer que l’application f possède deux points fixes si et seulement si
(d + uc)
2 + 4cv = 0.
On suppose désormais que f possède deux points fixes p et q et l’on définit
l’application ϕ : C → C en posant
ϕ(z) =
z − p
z − q
si z ∈ C \ {q} , ϕ(q) = ∞ et ϕ(∞) = 1.
c) Montrer que ϕ est une bijection.
d) Transportons f par le changement de référentiel ϕ : on obtient une transformation
g de C . Montrer qu’en posant K =
cq + d
cp + d
, on a
g(∞) = ∞ et g(z) = Kz pour tout z ∈ C.
2
@ . Une itération homographique. Soit I = ]1/2, +∞[. Pour tout nombre x ∈ I , on pose
f (x) =
4x − 1
2x + 1
.
a) Déterminer des nombres u et v tels que f (x) = u + v
2x + 1
pour tout x ∈ I .
b) Montrer que f définit une transformation de l’intervalle I et déterminer le point
fixe de cette transformation.
c) Montrer que pour tout x ∈ I , on a
f (x) − 1
f (x) − 1/2
= 2
3
x − 1
x − 1/2
.
d) Soit x 0 ∈ I et soient x 1 , . . . , x n , . . . les itérés de x 0 par l’application f . Montrer
que pour tout entier n 1, on a
x n − 1
x n − 1/2
=
2
3
n x 0 − 1
x 0 − 1/2
.
e) Quelle est la limite de x n quand n tend vers l’infini ?
Dans les deux exercices suivants, on pourra utiliser la formule du binôme de Newton qui
figure page 61.
3. Utilisation de la formule de Moivre
a) Exprimer cos 2a au moyen de cos a et de sin a. Faire de même pour sin 2a.
b) Montrer que tan 2a = 2 tan a
1 − tan
2 a
et tan 3a =
3 tan a − tan
3 a
1 − 3 tan
2 a
.
c) Démontrer les égalités cos 3a = 4 cos
3 a − 3 cos a et sin 3a = 3 sin a − 4 sin
3 a.
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 53
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@ . Les transformations homographiques. On ajoute à l’ensemble C des nombres complexes
un élément ∞ qui n’est pas un nombre et l’on note C = C ∪ {∞} l’ensemble obtenu.
Soient u, v, c, d des nombres complexes tels que c = 0 et v = 0 et soit f : C → C
l’application définie en posant
f (z) = u + v
cz + d
si z ∈ C \ {−d/c} , f (−d/c) = ∞ et f (∞) = u.
a) Montrer que f est une transformation bijective de C .
b) Montrer que l’application f possède deux points fixes si et seulement si
(d + uc)
2 + 4cv = 0.
On suppose désormais que f possède deux points fixes p et q et l’on définit
l’application ϕ : C → C en posant
ϕ(z) =
z − p
z − q
si z ∈ C \ {q} , ϕ(q) = ∞ et ϕ(∞) = 1.
c) Montrer que ϕ est une bijection.
d) Transportons f par le changement de référentiel ϕ : on obtient une transformation
g de C . Montrer qu’en posant K =
cq + d
cp + d
, on a
g(∞) = ∞ et g(z) = Kz pour tout z ∈ C.
2
@ . Une itération homographique. Soit I = ]1/2, +∞[. Pour tout nombre x ∈ I , on pose
f (x) =
4x − 1
2x + 1
.
a) Déterminer des nombres u et v tels que f (x) = u + v
2x + 1
pour tout x ∈ I .
b) Montrer que f définit une transformation de l’intervalle I et déterminer le point
fixe de cette transformation.
c) Montrer que pour tout x ∈ I , on a
f (x) − 1
f (x) − 1/2
= 2
3
x − 1
x − 1/2
.
d) Soit x 0 ∈ I et soient x 1 , . . . , x n , . . . les itérés de x 0 par l’application f . Montrer
que pour tout entier n 1, on a
x n − 1
x n − 1/2
=
2
3
n x 0 − 1
x 0 − 1/2
.
e) Quelle est la limite de x n quand n tend vers l’infini ?
Dans les deux exercices suivants, on pourra utiliser la formule du binôme de Newton qui
figure page 61.
3. Utilisation de la formule de Moivre
a) Exprimer cos 2a au moyen de cos a et de sin a. Faire de même pour sin 2a.
b) Montrer que tan 2a = 2 tan a
1 − tan
2 a
et tan 3a =
3 tan a − tan
3 a
1 − 3 tan
2 a
.
c) Démontrer les égalités cos 3a = 4 cos
3 a − 3 cos a et sin 3a = 3 sin a − 4 sin
3 a.
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
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