® Si Δ < 0, on a x
2 + px + q =
x + (p/2)
2 − Δ/4 −Δ/4 > 0 pour tout x réel.
® Si Δ=0, on a x
2 +px+q=
x+(p/2)
2 0, la valeur 0 étant obtenue lorsque x=−p/2.
® Supposons Δ > 0. L’équation a deux racines réelles x 1 , x 2 et l’on a la factorisation
x
2 + px + q = (x − x 1 )(x − x 2 ). Si x est strictement compris entre x 1 et x 2 , alors
x
2 +px+q<0. Si x est en dehors de l’intervalle d’extrémités x 1 ,x 2 , alors x
2 +px+q>0.
Le produit des racines est q : si q < 0, les racines sont de signes contraires ; si
q > 0, les racines sont de même signe, celui de leur somme −p.
Exemple. On dispose d’une peinture dont deux composants a et b s’oxydent lentement à l’air. Après une série de mesures, on constate que si a et b sont présents
en quantité x et y, alors au bout d’un an, les quantités sont
x
= y − kx et y
= ky − x,
où k est un paramètre positif qu’on peut faire varier en incorporant des produits
additifs. Afin de stabiliser la peinture, on souhaite que la proportion entre les deux
substances oxydables a et b ne varie pas. Cela est-il possible ?
La proportion initiale entre les quantités de a et de b est le rapport x/y. On doit
donc chercher s’il existe des valeurs x et y telles que x/y = x
/y
.
Posons t = x/y et t
= x
/y
. On a x
= y − kx = y(1 − kt) et y
= ky − x = y(k − t), donc
t
=
1 − kt
k − t
. L’égalité t = t
s’écrit t =
1 − kt
k − t
, c’est-à-dire t(k − t) = 1 − kt ou encore
(∗)
t
2
− 2kt + 1 = 0 .
Cette équation du second degré a pour discriminant Δ = 4(k
2
− 1).
® Si 0 k < 1, l’équation (∗) n’a pas de solution réelle : pour ces valeurs du
paramètre k, la proportion entre les produits a et b ne reste pas constante.
® Supposons k1. L’équation a pour solutions t 1 =k−
√
k 2 − 1 et t 2 =k+
√
k 2 − 1. Les
nombres t 1 et t 2 sont positifs, car leur produit est 1 et leur somme 2k > 0. Puisque
y
= y(k − t), le nombre t doit vérifier l’inégalité k − t > 0. On a k − t 1 =
√
k 2 − 1 0
et k − t 2 = −
√
k 2 − 1 0, donc la seule possibilité est k > 1 et t = t 1 .
® Supposons k > 1 et posons t = k −
√
k 2 − 1. En partant de quantités positives x et y
vérifiant x=ty, on obtient y
=y(k−t)>0 et aussi x
=ty
>0 : au cours de la première
année, la proportion entre a et b est restée fixe : nécessairement, elle le restera ensuite.
Comment les quantités x et y ont-elles varié en un an ? On a
y
= y(k − t) = y
k 2 − 1
x
= ty
= ty
k 2 − 1 = x
k 2 − 1
donc les quantités x et y ont été multipliées par le même facteur
√
k 2 − 1.
Puisque les valeurs x et y n’ont pu que diminuer au cours du temps, c’est que l’on
a
√
k 2 − 1 < 1, donc 1 < k <
√
2.
52 – FONCTIONS POLYN ˆ
OMES
2 + px + q =
x + (p/2)
2 − Δ/4 −Δ/4 > 0 pour tout x réel.
® Si Δ=0, on a x
2 +px+q=
x+(p/2)
2 0, la valeur 0 étant obtenue lorsque x=−p/2.
® Supposons Δ > 0. L’équation a deux racines réelles x 1 , x 2 et l’on a la factorisation
x
2 + px + q = (x − x 1 )(x − x 2 ). Si x est strictement compris entre x 1 et x 2 , alors
x
2 +px+q<0. Si x est en dehors de l’intervalle d’extrémités x 1 ,x 2 , alors x
2 +px+q>0.
Le produit des racines est q : si q < 0, les racines sont de signes contraires ; si
q > 0, les racines sont de même signe, celui de leur somme −p.
Exemple. On dispose d’une peinture dont deux composants a et b s’oxydent lentement à l’air. Après une série de mesures, on constate que si a et b sont présents
en quantité x et y, alors au bout d’un an, les quantités sont
x
= y − kx et y
= ky − x,
où k est un paramètre positif qu’on peut faire varier en incorporant des produits
additifs. Afin de stabiliser la peinture, on souhaite que la proportion entre les deux
substances oxydables a et b ne varie pas. Cela est-il possible ?
La proportion initiale entre les quantités de a et de b est le rapport x/y. On doit
donc chercher s’il existe des valeurs x et y telles que x/y = x
/y
.
Posons t = x/y et t
= x
/y
. On a x
= y − kx = y(1 − kt) et y
= ky − x = y(k − t), donc
t
=
1 − kt
k − t
. L’égalité t = t
s’écrit t =
1 − kt
k − t
, c’est-à-dire t(k − t) = 1 − kt ou encore
(∗)
t
2
− 2kt + 1 = 0 .
Cette équation du second degré a pour discriminant Δ = 4(k
2
− 1).
® Si 0 k < 1, l’équation (∗) n’a pas de solution réelle : pour ces valeurs du
paramètre k, la proportion entre les produits a et b ne reste pas constante.
® Supposons k1. L’équation a pour solutions t 1 =k−
√
k 2 − 1 et t 2 =k+
√
k 2 − 1. Les
nombres t 1 et t 2 sont positifs, car leur produit est 1 et leur somme 2k > 0. Puisque
y
= y(k − t), le nombre t doit vérifier l’inégalité k − t > 0. On a k − t 1 =
√
k 2 − 1 0
et k − t 2 = −
√
k 2 − 1 0, donc la seule possibilité est k > 1 et t = t 1 .
® Supposons k > 1 et posons t = k −
√
k 2 − 1. En partant de quantités positives x et y
vérifiant x=ty, on obtient y
=y(k−t)>0 et aussi x
=ty
>0 : au cours de la première
année, la proportion entre a et b est restée fixe : nécessairement, elle le restera ensuite.
Comment les quantités x et y ont-elles varié en un an ? On a
y
= y(k − t) = y
k 2 − 1
x
= ty
= ty
k 2 − 1 = x
k 2 − 1
donc les quantités x et y ont été multipliées par le même facteur
√
k 2 − 1.
Puisque les valeurs x et y n’ont pu que diminuer au cours du temps, c’est que l’on
a
√
k 2 − 1 < 1, donc 1 < k <
√
2.
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