Démonstration. Une racine commune à A et B est aussi racine de AU +BV : si AU +BV =1,
les polynômes A et B sont donc étrangers. Réciproquement, supposons A et B étrangers,
deg B deg A et raisonnons par récurrence sur le degré de B . Si deg B = 0, alors B est
une constante b non nulle et l’on a 0A + (1/b)B = 1. Supposons deg B 1 et effectuons la
division euclidienne de A par B : A = BQ + R, où le reste est R. D’après cette relation,
toute racine commune à B et R est racine commune à A et B , donc B et R n’ont pas de
racine commune. De plus, R n’est pas nul, sinon A serait multiple de B et les racines de B
seraient racines de A. Ainsi B et R sont étrangers. Puisqu’on a deg R < deg B , l’hypothèse
de récurrence assure qu’il existe des polynômes U et V tels que BU + RV = 1. Il vient alors
AV = BQV + RV = BQV + 1 − BU = B(QV − U ) + 1, d’où AV + B(U − QV ) = 1.
2.5 Rappels sur l'équation du second degré
Une équation du second degré est une équation de la forme
z
2 + pz + q = 0, où p et q sont des nombres réels ou complexes.
Pour résoudre l’équation, on remarque que z
2 + pz est le début du développement
de
z + (p/2)
2 . Précisément, on a z
2 + pz =
z + (p/2)
2 − p
2 /4, d’où
z
2 + pz + q =
z + (p/2)
2 − p
2 /4 + q =
z + (p/2)
2 −
p
2
− 4q
4
.
Posons Δ = p
2
− 4q : c’est le discriminant du polynôme z
2 + pz + q.
Premier cas : Δ = 0. Il existe alors deux nombres complexes δ et −δ tels que
δ
2 = (−δ)
2 = Δ. On a
z
2 + pz + q =
z +
p
2
2 −
δ
2
2
=
z +
p
2
− δ
2
z +
p
2
+ δ
2
Les racines de z
2 + pz + q sont donc les deux nombres z 1 = −
p
2
+ δ
2
et z 2 = −
p
2
− δ
2
.
Second cas : Δ = 0. L’équation s’écrit
z + (p/2)
2 = 0. Il n’y a qu’une solution :
z 1 = −p/2 = z 2 .
Dans tous les cas, on a la factorisation z
2 + pz + q = (z − z 1 )(z − z 2 ). Puisque
(z − z 1 )(z − z 2 ) = z
2
− (z 1 + z 2 )z + z 1 z 2 , on en déduit les égalités
p = −(z 1 + z 2 ) et q = z 1 z 2
qui expriment la somme et le produit des racines au moyen des coefficients de
l’équation.
Cas où les coefficients sont réels. Supposons que les coefficients p et q sont
des nombres réels. Le discriminant Δ = p
2
− 4q de l’équation est alors un nombre
réel. L’égalité
x
2 + px + q =
x + (p/2)
2 − Δ/4
montre que lorsque x décrit l’ensemble des nombres réels, le minimum de x
2 + px + q
est obtenu pour la valeur −p/2 de la variable et que ce minimum vaut −Δ/4.
Il est facile de déterminer le signe de x
2 + px + q :
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 51
les polynômes A et B sont donc étrangers. Réciproquement, supposons A et B étrangers,
deg B deg A et raisonnons par récurrence sur le degré de B . Si deg B = 0, alors B est
une constante b non nulle et l’on a 0A + (1/b)B = 1. Supposons deg B 1 et effectuons la
division euclidienne de A par B : A = BQ + R, où le reste est R. D’après cette relation,
toute racine commune à B et R est racine commune à A et B , donc B et R n’ont pas de
racine commune. De plus, R n’est pas nul, sinon A serait multiple de B et les racines de B
seraient racines de A. Ainsi B et R sont étrangers. Puisqu’on a deg R < deg B , l’hypothèse
de récurrence assure qu’il existe des polynômes U et V tels que BU + RV = 1. Il vient alors
AV = BQV + RV = BQV + 1 − BU = B(QV − U ) + 1, d’où AV + B(U − QV ) = 1.
2.5 Rappels sur l'équation du second degré
Une équation du second degré est une équation de la forme
z
2 + pz + q = 0, où p et q sont des nombres réels ou complexes.
Pour résoudre l’équation, on remarque que z
2 + pz est le début du développement
de
z + (p/2)
2 . Précisément, on a z
2 + pz =
z + (p/2)
2 − p
2 /4, d’où
z
2 + pz + q =
z + (p/2)
2 − p
2 /4 + q =
z + (p/2)
2 −
p
2
− 4q
4
.
Posons Δ = p
2
− 4q : c’est le discriminant du polynôme z
2 + pz + q.
Premier cas : Δ = 0. Il existe alors deux nombres complexes δ et −δ tels que
δ
2 = (−δ)
2 = Δ. On a
z
2 + pz + q =
z +
p
2
2 −
δ
2
2
=
z +
p
2
− δ
2
z +
p
2
+ δ
2
Les racines de z
2 + pz + q sont donc les deux nombres z 1 = −
p
2
+ δ
2
et z 2 = −
p
2
− δ
2
.
Second cas : Δ = 0. L’équation s’écrit
z + (p/2)
2 = 0. Il n’y a qu’une solution :
z 1 = −p/2 = z 2 .
Dans tous les cas, on a la factorisation z
2 + pz + q = (z − z 1 )(z − z 2 ). Puisque
(z − z 1 )(z − z 2 ) = z
2
− (z 1 + z 2 )z + z 1 z 2 , on en déduit les égalités
p = −(z 1 + z 2 ) et q = z 1 z 2
qui expriment la somme et le produit des racines au moyen des coefficients de
l’équation.
Cas où les coefficients sont réels. Supposons que les coefficients p et q sont
des nombres réels. Le discriminant Δ = p
2
− 4q de l’équation est alors un nombre
réel. L’égalité
x
2 + px + q =
x + (p/2)
2 − Δ/4
montre que lorsque x décrit l’ensemble des nombres réels, le minimum de x
2 + px + q
est obtenu pour la valeur −p/2 de la variable et que ce minimum vaut −Δ/4.
Il est facile de déterminer le signe de x
2 + px + q :
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 51