Dans la pratique, on conduit les calculs comme pour une division ordinaire entre
nombres, en écrivant au fur et à mesure les quotients partiels sous le diviseur.
Exemple 2. Calculons le quotient et le reste de la division de z
5 +z
4 +z
3 +8z
2 +9z+8
par z
3 + 8.
On écrit
z
5 + z
4 + z
3 + 8z
2 + 9z + 8 z
3 + 8
−z
5
− 8z
2
z
2 + z + 1
z
4 + z
3
+ 9z + 8
−z
4
− 8z
z
3
+ z + 8
−z
3
− 8
z
Le quotient z
2 +z+1 apparaît sous le diviseur, le reste est z et l’on a l’égalité de division
z
5 + z
4 + z
3 + 8z
2 + 9z + 8 = (z
3 + 8)(z
2 + z + 1) + z .
Exemple 3. Factorisons le polynôme P = −z
4 + 2z
3
− 5z
2 + 8z − 4 en produit de
facteurs de degré 1.
On a P (1) = 0, donc 1 est racine de P . Par suite, P est multiple de z − 1. En
effectuant la division de P par z − 1, on obtient
P = (z − 1)(−z
3 + z
2
− 4z + 4) = −(z − 1)(z
3
− z
2 + 4z − 4)
= −(z − 1)
z
2 (z − 1) + 4(z − 1)
= −(z − 1)
2 (z
2 + 4) .
Les racines de z
2 + 4 sont 2 i et −2 i, donc P = −(z − 1)
2 (z − 2 i)(z + 2 i).
Division par z − a . Si P est un polynôme et a un nombre, le reste de la division
de P par z − a est P (a).
En effet, d’après la formule de Taylor pour les polynômes, il existe un polynôme Q tel
que P = P (a) + (z − a)Q, ou encore P = (z − a)Q + P (a).
Polynômes étrangers
Définition
Si des polynômes non nuls A et B n’ont pas de racine commune (réelle ou
complexe), ont dit qu’ils sont étrangers.
Exemple. Si a et b sont des nombres complexes différents, les polynômes (z − a)
n
et (z − b)
p sont étrangers, quels que soient les entiers positifs n et p.
Proposition. Des polynômes A et B sont étrangers si et seulement s’il existe des
polynômes U et V tels que AU + BV = 1.
50 – FONCTIONS POLYN ˆ
OMES