2.4 Division euclidienne des polynômes
Nous avons montré qu’un nombre complexe a est racine d’un polynôme A si et
seulement si A est multiple du polynôme z − a. Plus généralement, si A et B sont
des polynômes, on peut se demander si A est multiple de B, c’est-à-dire s’il existe
un polynôme Q tel que A = BQ et si oui, comment calculer le quotient Q.
Étant donnés des polynômes A et B, le polynôme A n’est en général pas multiple de
B, mais on peut trouver, parmi les multiples de B, celui qui diffère de A par un polynôme de plus petit degré possible. En appelant BQ ce multiple, on aura précisément
deg(BQ) = deg A et deg(A − BQ) < deg B si A = BQ.
Exactement comme pour les entiers (voir page 4), on dispose sur les polynômes
d’une division avec reste : le reste de la division du polynôme A par le polynôme
B doit être, pour ce qui est du degré, « plus petit » que B.
Théorème. Soit A un polynôme et soit B un polynôme non nul. Il existe des polynômes
Q et R uniques tels que A = BQ + R et ( R = 0 ou deg R < deg B ). Le polynôme
R s’appelle le reste de la division de A par B et Q est le quotient. Le polynôme A est
multiple de B si et seulement si le reste de la division de A par B est nul.
Calculer le quotient Q et le reste R, c’est effectuer la division euclidienne de A par B.
On a A = BQ si et seulement si R = 0. Cela veut dire que le polynôme A est multiple
du polynôme B si et seulement si le reste de la division de A par B est nul. La
division est donc un outil pour savoir si un polynôme se factorise par un autre.
Montrons sur des exemples comment se pratique la division.
Exemple 1. Posons A = 2z
4 + z
3
− 3z + 5 et B = z
2 + 1. En ajoutant (ou en retranchant) à A un multiple de B, on cherche à transformer A en un polynôme
A 1 de degré plus petit que 4. Visiblement, si l’on retranche à A le polynôme
2z
2 B = 2z
4 + 2z
2 , le terme 2z
4 disparaît de A et l’on obtient le polynôme
A 1 = A − 2z
2 B = z
3
− 2z
2
− 3z + 5
qui est de degré 3 < deg A. Continuons ainsi : en retranchant à A 1 le polynôme
zB = z
3 + z, on obtient
A 2 = A 1 − zB = −2z
2
− 4z + 5.
On forme enfin le polynôme
R = A 2 + 2B = −2z
2
− 4z + 5 + (2z
2 + 2) = −4z + 7
qui est de degré 1 < deg B. Par conséquent, le reste de la division de A par B est
R = −4z + 7. Pour calculer le quotient, exprimons A au moyen de A 1 , puis de A 2
et R : il vient
A = 2z
2 B + A 1 = 2z
2 B + zB + A 2 = 2z
2 B + zB − 2B + R = (2z
2 + z − 2)B + R.
Le quotient est Q = 2z
2 + z − 2 et l’on a bien l’égalité de division A = BQ + R.
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 49
Nous avons montré qu’un nombre complexe a est racine d’un polynôme A si et
seulement si A est multiple du polynôme z − a. Plus généralement, si A et B sont
des polynômes, on peut se demander si A est multiple de B, c’est-à-dire s’il existe
un polynôme Q tel que A = BQ et si oui, comment calculer le quotient Q.
Étant donnés des polynômes A et B, le polynôme A n’est en général pas multiple de
B, mais on peut trouver, parmi les multiples de B, celui qui diffère de A par un polynôme de plus petit degré possible. En appelant BQ ce multiple, on aura précisément
deg(BQ) = deg A et deg(A − BQ) < deg B si A = BQ.
Exactement comme pour les entiers (voir page 4), on dispose sur les polynômes
d’une division avec reste : le reste de la division du polynôme A par le polynôme
B doit être, pour ce qui est du degré, « plus petit » que B.
Théorème. Soit A un polynôme et soit B un polynôme non nul. Il existe des polynômes
Q et R uniques tels que A = BQ + R et ( R = 0 ou deg R < deg B ). Le polynôme
R s’appelle le reste de la division de A par B et Q est le quotient. Le polynôme A est
multiple de B si et seulement si le reste de la division de A par B est nul.
Calculer le quotient Q et le reste R, c’est effectuer la division euclidienne de A par B.
On a A = BQ si et seulement si R = 0. Cela veut dire que le polynôme A est multiple
du polynôme B si et seulement si le reste de la division de A par B est nul. La
division est donc un outil pour savoir si un polynôme se factorise par un autre.
Montrons sur des exemples comment se pratique la division.
Exemple 1. Posons A = 2z
4 + z
3
− 3z + 5 et B = z
2 + 1. En ajoutant (ou en retranchant) à A un multiple de B, on cherche à transformer A en un polynôme
A 1 de degré plus petit que 4. Visiblement, si l’on retranche à A le polynôme
2z
2 B = 2z
4 + 2z
2 , le terme 2z
4 disparaît de A et l’on obtient le polynôme
A 1 = A − 2z
2 B = z
3
− 2z
2
− 3z + 5
qui est de degré 3 < deg A. Continuons ainsi : en retranchant à A 1 le polynôme
zB = z
3 + z, on obtient
A 2 = A 1 − zB = −2z
2
− 4z + 5.
On forme enfin le polynôme
R = A 2 + 2B = −2z
2
− 4z + 5 + (2z
2 + 2) = −4z + 7
qui est de degré 1 < deg B. Par conséquent, le reste de la division de A par B est
R = −4z + 7. Pour calculer le quotient, exprimons A au moyen de A 1 , puis de A 2
et R : il vient
A = 2z
2 B + A 1 = 2z
2 B + zB + A 2 = 2z
2 B + zB − 2B + R = (2z
2 + z − 2)B + R.
Le quotient est Q = 2z
2 + z − 2 et l’on a bien l’égalité de division A = BQ + R.
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 49