Racines n -ièmes d'un nombre complexe. Soit a un nombre complexe non
nul. Le module |a| est réel et strictement positif. Puisque la fonction x → x
n est une
bijection de [0, +∞[ dans [0, +∞[, le nombre réel
n
|a| existe. Posons α = Arg a et
z k =
n
|a| e
α
n i e
2kπ
n i pour k entier tel que 0 k n − 1. Les nombres e
2kπ
n i étant
racines n-ièmes de l’unité, on a
(z k )
n =
n
|a|
n
e
α
n i
n
= |a|e
α i = a
donc z 0 ,. . .,z n−1 sont les n racines du polynôme z
n
− a. On en déduit la factorisation
z
n
− a = (z − z 0 ) · · · (z − z n−1 ) .
Proposition. Soit a un nombre complexe non nul. Les racines n-ièmes de a sont les
nombres complexes de module
n
|a| et d’argument
Arg a
n + 2kπ
n , où k = 0, 1, . . . , n − 1.
Un nombre non nul, réel ou complexe, possède donc n racines n-ièmes. Remarquons que l’on a z 0 =
n
|a| e
α
n i et donc z k = z 0 e
2kπ
n i : les racines n-ièmes de a
s’obtiennent en multipliant z 0 par les racines n-ièmes de l’unité.
Les racines carrées d’un nombre complexe non nul sont deux nombres opposés.
2.3 Calcul des valeurs d'une fonction polynôme
Soit P = p n z
n + p n−1 z
n−1 + · · · + p 1 z + p 0 un polynôme non nul et soit u un nombre
complexe. Pour obtenir la valeur P (u), on peut calculer de proche en proche les
puissances de u, retenir ces valeurs et en faire la combinaison selon les coefficients du
polynôme. Voici un algorithme plus rapide : pour un polynôme p 3 z
3 + p 2 z
2 + p 1 z + p 0
par exemple, on calcule successivement les nombres
a 2 = p 3 u + p 2 , a 1 = a 2 u + p 1 et a 0 = a 1 u + p 0
de sorte qu’on a
a 0 = a 1 u + p 0 = (a 2 u + p 1 )u + p 0
= a 2 u
2 + p 1 u + p 0
= (p 3 u + p 2 )u
2 + p 1 u + p 0
= p 3 u
3 + p 2 u
2 + p 1 u + p 0 = P (u) .
Voici l’algorithme général, appelé méthode de Hörner :
initialisation : (n ← deg P ) (pour i de 0 à deg P , p[i] ← coefficient de z
i ) (a ← p[n])
(u ← un nombre complexe)
boucle : tant que n > 0, faire
a ← au + p[n − 1]
n ← n − 1
fin : la valeur de a est P (u).
48 – FONCTIONS POLYN ˆ
OMES
nul. Le module |a| est réel et strictement positif. Puisque la fonction x → x
n est une
bijection de [0, +∞[ dans [0, +∞[, le nombre réel
n
|a| existe. Posons α = Arg a et
z k =
n
|a| e
α
n i e
2kπ
n i pour k entier tel que 0 k n − 1. Les nombres e
2kπ
n i étant
racines n-ièmes de l’unité, on a
(z k )
n =
n
|a|
n
e
α
n i
n
= |a|e
α i = a
donc z 0 ,. . .,z n−1 sont les n racines du polynôme z
n
− a. On en déduit la factorisation
z
n
− a = (z − z 0 ) · · · (z − z n−1 ) .
Proposition. Soit a un nombre complexe non nul. Les racines n-ièmes de a sont les
nombres complexes de module
n
|a| et d’argument
Arg a
n + 2kπ
n , où k = 0, 1, . . . , n − 1.
Un nombre non nul, réel ou complexe, possède donc n racines n-ièmes. Remarquons que l’on a z 0 =
n
|a| e
α
n i et donc z k = z 0 e
2kπ
n i : les racines n-ièmes de a
s’obtiennent en multipliant z 0 par les racines n-ièmes de l’unité.
Les racines carrées d’un nombre complexe non nul sont deux nombres opposés.
2.3 Calcul des valeurs d'une fonction polynôme
Soit P = p n z
n + p n−1 z
n−1 + · · · + p 1 z + p 0 un polynôme non nul et soit u un nombre
complexe. Pour obtenir la valeur P (u), on peut calculer de proche en proche les
puissances de u, retenir ces valeurs et en faire la combinaison selon les coefficients du
polynôme. Voici un algorithme plus rapide : pour un polynôme p 3 z
3 + p 2 z
2 + p 1 z + p 0
par exemple, on calcule successivement les nombres
a 2 = p 3 u + p 2 , a 1 = a 2 u + p 1 et a 0 = a 1 u + p 0
de sorte qu’on a
a 0 = a 1 u + p 0 = (a 2 u + p 1 )u + p 0
= a 2 u
2 + p 1 u + p 0
= (p 3 u + p 2 )u
2 + p 1 u + p 0
= p 3 u
3 + p 2 u
2 + p 1 u + p 0 = P (u) .
Voici l’algorithme général, appelé méthode de Hörner :
initialisation : (n ← deg P ) (pour i de 0 à deg P , p[i] ← coefficient de z
i ) (a ← p[n])
(u ← un nombre complexe)
boucle : tant que n > 0, faire
a ← au + p[n − 1]
n ← n − 1
fin : la valeur de a est P (u).
48 – FONCTIONS POLYN ˆ
OMES