Théorème de D'Alember t-Gauss. Tout polynôme P de degré n 1 s’écrit
P = a(z − u 1 )
n 1 (z − u 2 )
n 2 · · · (z − u k )
n k ,
avec a = 0, des nombres complexes u 1 ,. . .,u k deux à deux différents et des entiers n 1 ,. . .,n k
au moins égaux à 1. On a n 1 +n 2 + · · · +n k = n et les racines de P sont u 1 , . . . , u k .
Ce théorème, que nous admettons, affirme notamment qu’un polynôme P non constant possède toujours des racines dans C et que P est un produit de polynômes
z − u i de degré 1, chacun des facteurs pouvant être répété plusieurs fois. L’entier n i
s’appelle la multiplicité de la racine u i . Si n i = 1, on dit que u i est racine simple de P .
Racines n -ièmes de l'unité. Soit n un entier au moins égal à 2.
Pour tout entier k tel que 0 k n − 1, posons u k = e
(2kπ/n) i . D’après la formule
de Moivre, on a
(u k )
n =
cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n)
n = cos(2kπ) + i sin(2kπ) = 1 ,
donc les n nombres complexes u 0 , . . . , u n−1 sont racines du polynôme z
n
− 1. Le
polynôme z
n
− 1 étant de degré n, il n’a pas d’autre racine, d’où la factorisation
z
n
− 1 = (z − 1)
z − e
2π
n i
z − e
2
2π
n i
· · ·
z − e
(n−1)
2π
n i
.
Les nombres u k = e
(2kπ/n) i s’appellent les racines n-ièmes de l’unité. Remarquons que
l’on a l’égalité u k = (u 1 )
k , avec la convention habituelle (u 1 )
0 = 1.
Exemples
® Les racines carrées de l’unité sont 1 et −1. Les racines quatrièmes de l’unité sont les
solutions de l’équation z
4
−1 = (z
2
−1)(z
2 +1) = 0 : ce sont les nombres 1, −1, i, −i.
® Les racines cubiques de l’unité sont les racines du polynôme z
3
−1=(z−1)(z
2 +z+1),
c’est-à-dire nombres 1, j = e
2 i π/3 =
−1
2
+ i
√
3
2
et j
2 = e
4 i π/3 = j =
−1
2
− i
√
3
2
.
j
j
j
+ 1
hexagone
régulier
pentagone
régulier
Puisqu’on a |u k | = 1, les points P 0 ,. . .,P n−1 d’affixes u 0 ,. . .,u n−1 sont sur le cercle de centre O et
de rayon 1. De plus, pour k = 1,2,. . .,n − 1, on a
u k = (u 1 )
k = u 1 u k−1 , donc l’argument de u k /u k−1
vaut toujours Arg(u 1 ) = 2π/n. Cela veut dire que
les angles
− − − − − − − →
OP 0 ,
− − − − − − − →
OP 1 ,
− − − − − − − →
OP 1 ,
− − − − − − − →
OP 2 , etc, ont tous la
même mesure 2π/n, autrement dit les points
P 0 , . . . , P n−1 partagent le cercle en n arcs égaux.
Les points P 0 , . . . , P n−1 sont donc les sommets
d’un polygone régulier à n cotés centré à l’origine. Les figures montrent le polygone obtenu
avec les racines 6-ièmes de l’unité (hexagone) et
celui correspondant aux racines 5-ièmes (pentagone).
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 47
P = a(z − u 1 )
n 1 (z − u 2 )
n 2 · · · (z − u k )
n k ,
avec a = 0, des nombres complexes u 1 ,. . .,u k deux à deux différents et des entiers n 1 ,. . .,n k
au moins égaux à 1. On a n 1 +n 2 + · · · +n k = n et les racines de P sont u 1 , . . . , u k .
Ce théorème, que nous admettons, affirme notamment qu’un polynôme P non constant possède toujours des racines dans C et que P est un produit de polynômes
z − u i de degré 1, chacun des facteurs pouvant être répété plusieurs fois. L’entier n i
s’appelle la multiplicité de la racine u i . Si n i = 1, on dit que u i est racine simple de P .
Racines n -ièmes de l'unité. Soit n un entier au moins égal à 2.
Pour tout entier k tel que 0 k n − 1, posons u k = e
(2kπ/n) i . D’après la formule
de Moivre, on a
(u k )
n =
cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n)
n = cos(2kπ) + i sin(2kπ) = 1 ,
donc les n nombres complexes u 0 , . . . , u n−1 sont racines du polynôme z
n
− 1. Le
polynôme z
n
− 1 étant de degré n, il n’a pas d’autre racine, d’où la factorisation
z
n
− 1 = (z − 1)
z − e
2π
n i
z − e
2
2π
n i
· · ·
z − e
(n−1)
2π
n i
.
Les nombres u k = e
(2kπ/n) i s’appellent les racines n-ièmes de l’unité. Remarquons que
l’on a l’égalité u k = (u 1 )
k , avec la convention habituelle (u 1 )
0 = 1.
Exemples
® Les racines carrées de l’unité sont 1 et −1. Les racines quatrièmes de l’unité sont les
solutions de l’équation z
4
−1 = (z
2
−1)(z
2 +1) = 0 : ce sont les nombres 1, −1, i, −i.
® Les racines cubiques de l’unité sont les racines du polynôme z
3
−1=(z−1)(z
2 +z+1),
c’est-à-dire nombres 1, j = e
2 i π/3 =
−1
2
+ i
√
3
2
et j
2 = e
4 i π/3 = j =
−1
2
− i
√
3
2
.
j
j
j
+ 1
hexagone
régulier
pentagone
régulier
Puisqu’on a |u k | = 1, les points P 0 ,. . .,P n−1 d’affixes u 0 ,. . .,u n−1 sont sur le cercle de centre O et
de rayon 1. De plus, pour k = 1,2,. . .,n − 1, on a
u k = (u 1 )
k = u 1 u k−1 , donc l’argument de u k /u k−1
vaut toujours Arg(u 1 ) = 2π/n. Cela veut dire que
les angles
− − − − − − − →
OP 0 ,
− − − − − − − →
OP 1 ,
− − − − − − − →
OP 1 ,
− − − − − − − →
OP 2 , etc, ont tous la
même mesure 2π/n, autrement dit les points
P 0 , . . . , P n−1 partagent le cercle en n arcs égaux.
Les points P 0 , . . . , P n−1 sont donc les sommets
d’un polygone régulier à n cotés centré à l’origine. Les figures montrent le polygone obtenu
avec les racines 6-ièmes de l’unité (hexagone) et
celui correspondant aux racines 5-ièmes (pentagone).
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 47