P = z
3
− 3z + 2 = (z − 1)
2 (z + 2) montre que l’autre racine est −2. De même, si
a = −2, alors P (−1) = P
(−1) = 0 et −1 est racine double de P .
® Supposons a > 2. La fonction x → P (x) ne coupe l’axe des abscisses qu’en un seul
point x a < −2 : le polynôme P n’a qu’une racine réelle (figure 4). On a une factorisation P =(z −x a )(z
2 +pz +q), où p et q sont réels car P est à coefficients réels. Les
autres racines de P sont donc celles du trinôme z
2 +pz +q : celles-ci sont nécessairement non réelles et conjuguées l’une de l’autre. Les trois racines de P sont simples.
Exemple. Soit n un entier au moins égal à 2 et soit a ∈ C. Le polynôme z
n
− a
n
a pour racine a, donc se factorise par z − a. Par exemple, on a les égalités
z
2
− a
2 = (z − a)(z + a)
et
z
3
− a
3 = (z − a)(z
2 + az + a
2 )
Voici la formule générale pour factoriser z
n
− a
n par z − a :
(∗)
z
n
− a
n = (z − a)(z
n−1 + z
n−2 a + · · · + z
n−k a
k−1 + · · · + za
n−2 + a
n−1 )
La formule est évidente si a = 0. Démontrons-la d’abord pour a = 1. Si z est un nombre
complexe, on a
z(z
n−1 + z
n−2 + · · · + z + 1) = z
n + z
n−1 + · · · + z
1(z
n−1 + z
n−2 + · · · + z + 1) =
z
n−1 + · · · + z + 1
donc en soustrayant (z − 1)(z
n−1 + z
n−2 + · · · + z + 1) = z
n
− 1. Dans le cas d’un nombre
complexe a = 0 quelconque, en remplaçant z par z/a dans l’égalité ci-dessus, on obtient
z
a − 1
z
n−1
a
n−1
+ z
n−2
a
n−2
+ · · · + z
a + 1
= z
n
a
n − 1, d’où l’égalité (∗) en multipliant
chaque membre par a
n .
Remarque
L’égalité (z − 1)(1 + z + · · · + z
n−1 ) = z
n
− 1 s’écrit encore
1 + z + · · · + z
n−1 =
1 − z
n
1 − z
, si z = 1.
C’est la formule qui exprime la somme des n premiers termes de la progression
géométrique de premier terme 1 et de raison z = 1.
Corollaire. Un polynôme de degré n possède au plus n racines.
Démonstration. Supposons que les nombres a 1 , . . . , a p sont des racines deux à deux différentes du polynôme P . D’après la proposition, il y a un polynôme Q 1 tel que P = (z − a 1 )Q 1 .
On a 0 = P (a 2 ) = (a 2 − a 1 )Q 1 (a 2 ) et a 2 − a 1 = 0, donc Q 1 (a 2 ) = 0. En appliquant la proposition à Q 1 , il vient Q 1 = (z − a 2 )Q 2 , donc P = (z − a 1 )(z − a 2 )Q 2 , où Q 2 est un polynôme.
On a Q 2 (a 3 ) = 0, car (a 3 − a 1 )(a 3 − a 2 ) = 0. En continuant ainsi, on obtient une factorisation
P = (z − a 1 )(z − a 2 ) · · · (z − a p )Q p . Puisque le degré d’un produit est la somme des degrés,
on en déduit deg P = p + deg Q p p.
Un polynôme de degré n peut avoir moins de n racines : ainsi par exemple, le polynôme (z − a)
4 est de degré 4 et sa seule racine est a. Voici le résultat fondamental
concernant les racines d’un polynôme.
46 – FONCTIONS POLYN ˆ
OMES
3
− 3z + 2 = (z − 1)
2 (z + 2) montre que l’autre racine est −2. De même, si
a = −2, alors P (−1) = P
(−1) = 0 et −1 est racine double de P .
® Supposons a > 2. La fonction x → P (x) ne coupe l’axe des abscisses qu’en un seul
point x a < −2 : le polynôme P n’a qu’une racine réelle (figure 4). On a une factorisation P =(z −x a )(z
2 +pz +q), où p et q sont réels car P est à coefficients réels. Les
autres racines de P sont donc celles du trinôme z
2 +pz +q : celles-ci sont nécessairement non réelles et conjuguées l’une de l’autre. Les trois racines de P sont simples.
Exemple. Soit n un entier au moins égal à 2 et soit a ∈ C. Le polynôme z
n
− a
n
a pour racine a, donc se factorise par z − a. Par exemple, on a les égalités
z
2
− a
2 = (z − a)(z + a)
et
z
3
− a
3 = (z − a)(z
2 + az + a
2 )
Voici la formule générale pour factoriser z
n
− a
n par z − a :
(∗)
z
n
− a
n = (z − a)(z
n−1 + z
n−2 a + · · · + z
n−k a
k−1 + · · · + za
n−2 + a
n−1 )
La formule est évidente si a = 0. Démontrons-la d’abord pour a = 1. Si z est un nombre
complexe, on a
z(z
n−1 + z
n−2 + · · · + z + 1) = z
n + z
n−1 + · · · + z
1(z
n−1 + z
n−2 + · · · + z + 1) =
z
n−1 + · · · + z + 1
donc en soustrayant (z − 1)(z
n−1 + z
n−2 + · · · + z + 1) = z
n
− 1. Dans le cas d’un nombre
complexe a = 0 quelconque, en remplaçant z par z/a dans l’égalité ci-dessus, on obtient
z
a − 1
z
n−1
a
n−1
+ z
n−2
a
n−2
+ · · · + z
a + 1
= z
n
a
n − 1, d’où l’égalité (∗) en multipliant
chaque membre par a
n .
Remarque
L’égalité (z − 1)(1 + z + · · · + z
n−1 ) = z
n
− 1 s’écrit encore
1 + z + · · · + z
n−1 =
1 − z
n
1 − z
, si z = 1.
C’est la formule qui exprime la somme des n premiers termes de la progression
géométrique de premier terme 1 et de raison z = 1.
Corollaire. Un polynôme de degré n possède au plus n racines.
Démonstration. Supposons que les nombres a 1 , . . . , a p sont des racines deux à deux différentes du polynôme P . D’après la proposition, il y a un polynôme Q 1 tel que P = (z − a 1 )Q 1 .
On a 0 = P (a 2 ) = (a 2 − a 1 )Q 1 (a 2 ) et a 2 − a 1 = 0, donc Q 1 (a 2 ) = 0. En appliquant la proposition à Q 1 , il vient Q 1 = (z − a 2 )Q 2 , donc P = (z − a 1 )(z − a 2 )Q 2 , où Q 2 est un polynôme.
On a Q 2 (a 3 ) = 0, car (a 3 − a 1 )(a 3 − a 2 ) = 0. En continuant ainsi, on obtient une factorisation
P = (z − a 1 )(z − a 2 ) · · · (z − a p )Q p . Puisque le degré d’un produit est la somme des degrés,
on en déduit deg P = p + deg Q p p.
Un polynôme de degré n peut avoir moins de n racines : ainsi par exemple, le polynôme (z − a)
4 est de degré 4 et sa seule racine est a. Voici le résultat fondamental
concernant les racines d’un polynôme.
46 – FONCTIONS POLYN ˆ
OMES