Si a est racine de P , alors on a P (a) = 0, donc aussi P (a) = 0 et par suite P (a) = 0.
Proposition. Soit P un polynôme.
® Un nombre a est racine de P si et seulement s’il existe un polynôme Q tel que P =(z−a)Q.
® Un nombre a est racine multiple de P si et seulement s’il existe un polynôme R tel que
P = (z − a)
2 R.
Démonstration. Si Q existe, alors P (a) = (a − a)Q(a) = 0, donc a est racine de P . Réciproquement, supposons P (a) = 0. D’après la formule de Taylor, nous avons
P = P (a) + P
(a)(z − a) +
P
(a)
2!
(z − a)
2 + · · · +
P
(n) (a)
n!
(z − a)
n
= (z − a)
P
(a) +
P
(a)
2!
(z − a) + · · · +
P
(n) (a)
n!
(z − a)
n−1
expression qui est bien de la forme (z − a)Q, où Q est un polynôme.
Supposons que P = (z − a)
2 R, où R est un polynôme. En dérivant, on obtient P
=
2(z − a)R + (z − a)
2 R
, donc P
(a) = 0. Réciproquement, supposons P (a) = P
(a) = 0. Alors
le premier terme de la formule de Taylor est
P
(a)
2!
(z − a)
2 et (z − a)
2 est en facteur dans
l’expression de P .
Exemple. Posons P =z
3
−3z +a, où a est un nombre réel. Les racines de P
=3z
2
−3
sont ±1 et l’on a P (1) = −2 + a, P (−1) = 2 + a : le polynôme P n’a donc une
racine multiple que si a = ±2.
Pour étudier les racines de P , nous avons représenté ci-dessous les graphes des
fonctions x → x
3
− 3x + a lorsque a prend les valeurs 0, 1, 2 et 3.
x
3
− 3x
y =
1
2
x
y
− 2
−1
figure 1
3
1
1
3
x
y
x − 3
−1
−1
1
x
y
+
=
figure 2
x
3
− 3
−1
−2
2
1
2
4
x
x
y
y
+
=
figure 3
1
1
5
x
y
x
3
− 3
3
x
y
+
=
−1
figure 4
® Si a ∈ ]−2, 2[, on voit que le graphe de la fonction x → x
3
− 3x + a coupe l’axe des
abscisses en trois points : le polynôme P a donc trois racines réelles (figures 1 et
2). En ces points, le graphe n’est pas tangent à l’axe des abscisses, ce qui traduit
le fait que les racines sont simples, c’est-à-dire non multiples.
® Si a = 2, le graphe est tangent à l’axe au point d’abscisse 1 : cela correspond aux
égalités P (1) = P
(1) = 0, donc 1 est racine double de P (figure 3). La factorisation
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 45
Proposition. Soit P un polynôme.
® Un nombre a est racine de P si et seulement s’il existe un polynôme Q tel que P =(z−a)Q.
® Un nombre a est racine multiple de P si et seulement s’il existe un polynôme R tel que
P = (z − a)
2 R.
Démonstration. Si Q existe, alors P (a) = (a − a)Q(a) = 0, donc a est racine de P . Réciproquement, supposons P (a) = 0. D’après la formule de Taylor, nous avons
P = P (a) + P
(a)(z − a) +
P
(a)
2!
(z − a)
2 + · · · +
P
(n) (a)
n!
(z − a)
n
= (z − a)
P
(a) +
P
(a)
2!
(z − a) + · · · +
P
(n) (a)
n!
(z − a)
n−1
expression qui est bien de la forme (z − a)Q, où Q est un polynôme.
Supposons que P = (z − a)
2 R, où R est un polynôme. En dérivant, on obtient P
=
2(z − a)R + (z − a)
2 R
, donc P
(a) = 0. Réciproquement, supposons P (a) = P
(a) = 0. Alors
le premier terme de la formule de Taylor est
P
(a)
2!
(z − a)
2 et (z − a)
2 est en facteur dans
l’expression de P .
Exemple. Posons P =z
3
−3z +a, où a est un nombre réel. Les racines de P
=3z
2
−3
sont ±1 et l’on a P (1) = −2 + a, P (−1) = 2 + a : le polynôme P n’a donc une
racine multiple que si a = ±2.
Pour étudier les racines de P , nous avons représenté ci-dessous les graphes des
fonctions x → x
3
− 3x + a lorsque a prend les valeurs 0, 1, 2 et 3.
x
3
− 3x
y =
1
2
x
y
− 2
−1
figure 1
3
1
1
3
x
y
x − 3
−1
−1
1
x
y
+
=
figure 2
x
3
− 3
−1
−2
2
1
2
4
x
x
y
y
+
=
figure 3
1
1
5
x
y
x
3
− 3
3
x
y
+
=
−1
figure 4
® Si a ∈ ]−2, 2[, on voit que le graphe de la fonction x → x
3
− 3x + a coupe l’axe des
abscisses en trois points : le polynôme P a donc trois racines réelles (figures 1 et
2). En ces points, le graphe n’est pas tangent à l’axe des abscisses, ce qui traduit
le fait que les racines sont simples, c’est-à-dire non multiples.
® Si a = 2, le graphe est tangent à l’axe au point d’abscisse 1 : cela correspond aux
égalités P (1) = P
(1) = 0, donc 1 est racine double de P (figure 3). La factorisation
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 45