P s’expriment donc au moyen des dérivées en 0 par les formules : p k =
P
(k) (0)
k!
.
On a ainsi l’égalité
P = P (0) +
P
(0)
1!
z +
P
(0)
2!
z
2 + · · · +
P
(k) (0)
k!
z
k + · · · +
P
(n) (0)
n!
z
n
Formule de Taylor pour les polynômes. Si P est un polynôme de degré n, alors
pour tout nombre complexe a, on a
P =P (a)+
P
(a)
1!
(z −a)+
P
(a)
2!
(z −a)
2 +· · ·+
P
(k) (a)
k!
(z −a)
k +· · ·+
P
(n) (a)
n!
(z −a)
n .
Démonstration. Nous venons de voir que la formule est vraie si a = 0. Dans le cas général, définissons un polynôme Q en posant Q(z) = P (z + a). D’après les règles de dérivation,
on a Q
(z) = P
(z + a), d’où Q
(k) (z) = P
(k) (z + a) pour tout entier k 1. On en déduit
Q(0) = P (a), Q
(k) (0) = P
(k) (a) et il vient
Q(z) = Q(0) +
Q
(0)
1!
z +
Q
(0)
2!
z
2 + · · · +
Q
(k) (0)
k!
z
k + · · · +
Q
(n) (0)
n!
z
n
= P (a) +
P
(a)
1!
z +
P
(a)
2!
z
2 + · · · +
P
(k) (a)
k!
z
k + · · · +
P
(n) (a)
n!
z
n .
Remplaçons z par z − a ; puisque Q(z − a) = P (z), on obtient la formule annoncée.
2.2 Racines d'un polynôme
Définition
Soit P un polynôme. Un nombre complexe a tel que P (a) = 0 s’appelle une racine
de P . Si P (a) = P
(a) = 0, on dit que a est racine multiple de P .
Exemples
® Les nombres i et − i sont racines du polynôme z
2 + 1.
® Posons j =
−1
2
+
√
3
2
i. On a j
2 =
−1
2
−
√
3
2
i = j , d’où j + j
2 = j + j = 2Re(j) = −1.
Il vient donc la relation 1 + j + j
2 = 0. Cela signifie que j est racine du polynôme
z
2 + z + 1 ; l’autre racine est j , car 1 + j + j
2 = 1 + j + j 2 = 1 + (−1) = 0.
Proposition. Soit P un polynôme à coefficients réels.
® Pour tout nombre complexe z, on a P (z) = P (z).
® Si a est racine de P , alors a est racine de P .
Démonstration. Soit P = p 0 + p 1 z + · · · + p n z
n un polynôme dont les coefficients p 0 , . . . , p n
sont tous réels. On a
P (z) = p 0 + p 1 z + · · · + p n z n = p 0 + p 1 z + · · · + p n z n
= p 0 + p 1 z + · · · + p n z n car p i z i = p i z i et p i = p i
= p 0 + p 1 z + · · · + p n z
n
car z i = z
i .
= P (z) .
44 – FONCTIONS POLYN ˆ
OMES
P
(k) (0)
k!
.
On a ainsi l’égalité
P = P (0) +
P
(0)
1!
z +
P
(0)
2!
z
2 + · · · +
P
(k) (0)
k!
z
k + · · · +
P
(n) (0)
n!
z
n
Formule de Taylor pour les polynômes. Si P est un polynôme de degré n, alors
pour tout nombre complexe a, on a
P =P (a)+
P
(a)
1!
(z −a)+
P
(a)
2!
(z −a)
2 +· · ·+
P
(k) (a)
k!
(z −a)
k +· · ·+
P
(n) (a)
n!
(z −a)
n .
Démonstration. Nous venons de voir que la formule est vraie si a = 0. Dans le cas général, définissons un polynôme Q en posant Q(z) = P (z + a). D’après les règles de dérivation,
on a Q
(z) = P
(z + a), d’où Q
(k) (z) = P
(k) (z + a) pour tout entier k 1. On en déduit
Q(0) = P (a), Q
(k) (0) = P
(k) (a) et il vient
Q(z) = Q(0) +
Q
(0)
1!
z +
Q
(0)
2!
z
2 + · · · +
Q
(k) (0)
k!
z
k + · · · +
Q
(n) (0)
n!
z
n
= P (a) +
P
(a)
1!
z +
P
(a)
2!
z
2 + · · · +
P
(k) (a)
k!
z
k + · · · +
P
(n) (a)
n!
z
n .
Remplaçons z par z − a ; puisque Q(z − a) = P (z), on obtient la formule annoncée.
2.2 Racines d'un polynôme
Définition
Soit P un polynôme. Un nombre complexe a tel que P (a) = 0 s’appelle une racine
de P . Si P (a) = P
(a) = 0, on dit que a est racine multiple de P .
Exemples
® Les nombres i et − i sont racines du polynôme z
2 + 1.
® Posons j =
−1
2
+
√
3
2
i. On a j
2 =
−1
2
−
√
3
2
i = j , d’où j + j
2 = j + j = 2Re(j) = −1.
Il vient donc la relation 1 + j + j
2 = 0. Cela signifie que j est racine du polynôme
z
2 + z + 1 ; l’autre racine est j , car 1 + j + j
2 = 1 + j + j 2 = 1 + (−1) = 0.
Proposition. Soit P un polynôme à coefficients réels.
® Pour tout nombre complexe z, on a P (z) = P (z).
® Si a est racine de P , alors a est racine de P .
Démonstration. Soit P = p 0 + p 1 z + · · · + p n z
n un polynôme dont les coefficients p 0 , . . . , p n
sont tous réels. On a
P (z) = p 0 + p 1 z + · · · + p n z n = p 0 + p 1 z + · · · + p n z n
= p 0 + p 1 z + · · · + p n z n car p i z i = p i z i et p i = p i
= p 0 + p 1 z + · · · + p n z
n
car z i = z
i .
= P (z) .
44 – FONCTIONS POLYN ˆ
OMES