L’ensemble T est donc un groupe de transformations de C. Nous avons montré
précédemment que les transformations du plan euclidien représentées par les applications f a,b sont les similitudes. L’ensemble des similitudes du plan euclidien est
donc aussi un groupe de transformations.
2. Fonctions polynômes
2.1 Définitions et propriétés générales
Définitions
Un polynôme est une expression P =p 0 +p 1 z +p 2 z
2 +· · ·+p n z
n , où p 0 ,p 1 ,. . .p n sont
des nombres réels ou complexes. Les nombres p i sont les coefficients de P . Si le coefficient p n n’est pas nul, l’entier n s’appelle le degré de P et se note degP . La fonction
P :C→C définie par P (z)=p 0 +p 1 z +p 2 z
2 +· · ·+p n z
n est appelée fonction polynôme.
® La valeur P (0) = p 0 est le terme constant du polynôme.
® Une somme, un produit ou une composée de polynômes est un polynôme.
® Le produit d’un polynôme de degré p et d’un polynôme de degré q est un
polynôme de degré p + q. Le polynôme nul n’a pas de degré.
® Il s’ensuit qu’un produit de polynômes n’est nul que si l’un des facteurs est nul.
® On peut aussi dériver un polynôme, en appliquant les règles valables pour une
fonction d’une variable réelle. Ainsi, la dérivée du polynôme z
k est kz
k−1 , où l’on
convient (pour k = 1) que l’on a z
0 = 1. Nous ferons toujours cette convention
dans les calculs.
Définition
La dérivée du polynôme P = p 0 + p 1 z + p 2 z
2 + · · · + p n z
n est le polynôme P
=
p 1 +2p 2 z+· · ·+np n z
n−1 si n1. Si n=0, le polynôme P est constant et l’on a P
=0.
On définit de proche en proche les dérivées successives de P : la dérivée seconde
notée P
et pour tout entier k 3, la dérivée k-ième, notée P
(k) .
Exemples
® Si P = z
n , la dérivée k-ième de P est
P
(k) =
n(n − 1) · · · (n − k + 1)z
n−k = n!
k!
z
n−k si 0 k n
0
si k > n
® Supposons P = p 0 +p 1 z +p 2 z
2 +p 3 z
3 . On a p 0 = P (0) et P
= p 1 +2p 2 z +3p 3 z
2 , donc
p 1 = P
(0). En dérivant à nouveau, il vient P
= 2p 2 + 3 × 2p 3 z, donc 2p 2 = P
(0),
puis P
(3) = 3 × 2p 3 , donc 6p 3 = P
(3) (0).
® Plus généralement, pour un polynôme P = p 0 + p 1 z + · · · + p n z
n de degré n, on a
les relations k! p k = P
(k) (0) pour tout entier k tel que 0 k n. Les coefficients de
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 43
précédemment que les transformations du plan euclidien représentées par les applications f a,b sont les similitudes. L’ensemble des similitudes du plan euclidien est
donc aussi un groupe de transformations.
2. Fonctions polynômes
2.1 Définitions et propriétés générales
Définitions
Un polynôme est une expression P =p 0 +p 1 z +p 2 z
2 +· · ·+p n z
n , où p 0 ,p 1 ,. . .p n sont
des nombres réels ou complexes. Les nombres p i sont les coefficients de P . Si le coefficient p n n’est pas nul, l’entier n s’appelle le degré de P et se note degP . La fonction
P :C→C définie par P (z)=p 0 +p 1 z +p 2 z
2 +· · ·+p n z
n est appelée fonction polynôme.
® La valeur P (0) = p 0 est le terme constant du polynôme.
® Une somme, un produit ou une composée de polynômes est un polynôme.
® Le produit d’un polynôme de degré p et d’un polynôme de degré q est un
polynôme de degré p + q. Le polynôme nul n’a pas de degré.
® Il s’ensuit qu’un produit de polynômes n’est nul que si l’un des facteurs est nul.
® On peut aussi dériver un polynôme, en appliquant les règles valables pour une
fonction d’une variable réelle. Ainsi, la dérivée du polynôme z
k est kz
k−1 , où l’on
convient (pour k = 1) que l’on a z
0 = 1. Nous ferons toujours cette convention
dans les calculs.
Définition
La dérivée du polynôme P = p 0 + p 1 z + p 2 z
2 + · · · + p n z
n est le polynôme P
=
p 1 +2p 2 z+· · ·+np n z
n−1 si n1. Si n=0, le polynôme P est constant et l’on a P
=0.
On définit de proche en proche les dérivées successives de P : la dérivée seconde
notée P
et pour tout entier k 3, la dérivée k-ième, notée P
(k) .
Exemples
® Si P = z
n , la dérivée k-ième de P est
P
(k) =
n(n − 1) · · · (n − k + 1)z
n−k = n!
k!
z
n−k si 0 k n
0
si k > n
® Supposons P = p 0 +p 1 z +p 2 z
2 +p 3 z
3 . On a p 0 = P (0) et P
= p 1 +2p 2 z +3p 3 z
2 , donc
p 1 = P
(0). En dérivant à nouveau, il vient P
= 2p 2 + 3 × 2p 3 z, donc 2p 2 = P
(0),
puis P
(3) = 3 × 2p 3 , donc 6p 3 = P
(3) (0).
® Plus généralement, pour un polynôme P = p 0 + p 1 z + · · · + p n z
n de degré n, on a
les relations k! p k = P
(k) (0) pour tout entier k tel que 0 k n. Les coefficients de
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