Itération par une similitude. Exprimons les itérés z 1 =az 0 +b , z 2 =az 1 +b , . . . , z n =
az n−1 + b d’un nombre z 0 . D’après (∗), on a z 1 − ω = a(z 0 − ω), z 2 − ω = a(z 1 − ω)
et en général z n − ω = a(z n−1 − ω). On en déduit
z n − ω = a
n (z 0 − ω) pour tout entier n 1,
et comme ω = b
1 − a
, il vient z n = a
n z 0 + ω(1 − a
n ) = a
n z 0 + b
1 − a
n
1 − a
.
Exemple.
M 0 M 1
M 3
M 4
M 5
M 6
M 7
M 8
i
ω
α
α
M 2
La figure ci-contre montre les itérés du point M 0 d’affixe 1 par la
similitude z →
2 + i
2
z +
1 − i
2
; le centre est le point d’affixe
ω =
1 − i
2
1
1 − (1 + i /2)
=
1 − i
2
2
− i
= 1 + i ,
le rapport est
2 + i
2
=
√
5
2
et l’angle est
α = Arg
2 + i
2
= Arg
1 + (i /2)
.
Puisque la partie réelle et la partie imaginaire de 1 + (i /2)
sont positives, on a 0 < α < π/2 ; la tangente d’un argument
est le rapport partie imaginaire sur partie réelle, donc tg(α) = 1/2, ce qui donne
pour α environ 26,565 degrés.
Le groupe des similitudes
Si a est un nombre complexe non nul et si b est un nombre complexe quelconque,
notons f a,b : C → C l’application définie par f a,b (z) = az + b. Pour tous nombres
complexes z et z
, on a l’équivalence
(∗)
z
= az + b ⇐⇒ z = 1
a
z
− b
a
donc l’application f a,b est une transformation bijective de l’ensemble C.
Soit T l’ensemble des applications f a,b , où a = 0.
Nous allons montrer que l’ensemble T est un groupe de transformations de C. Pour
cela, vérifions les trois propriétés de la définition donnée page 28.
® On a f 1,0 (z) = z quel que soit z, donc f 1,0 = id C : la transformation id C appartient
donc à T .
® Composons les transformations f a,b et f c,d , où a et c sont non nuls : pour tout
nombre complexe z, il vient
f a,b ◦ f c,d
(z) = f a,b (cz + d) = a(cz + d) + b = (ac)z + ad + b .
Puisque ac n’est pas nul, la composée f a,b ◦ f c,d = f ac,ad+b appartient à T .
® D’après l’équivalence (∗), la transformation réciproque de f a,b est z
→ 1
a
z
− b
a
=
f 1/a,−b/a (z
), donc on a f
−1
a,b = f 1/a,−b/a . Cela montre que la transformation f
−1
a,b
appartient aussi à T .
42 – LES NOMBRES COMPLEXES
az n−1 + b d’un nombre z 0 . D’après (∗), on a z 1 − ω = a(z 0 − ω), z 2 − ω = a(z 1 − ω)
et en général z n − ω = a(z n−1 − ω). On en déduit
z n − ω = a
n (z 0 − ω) pour tout entier n 1,
et comme ω = b
1 − a
, il vient z n = a
n z 0 + ω(1 − a
n ) = a
n z 0 + b
1 − a
n
1 − a
.
Exemple.
M 0 M 1
M 3
M 4
M 5
M 6
M 7
M 8
i
ω
α
α
M 2
La figure ci-contre montre les itérés du point M 0 d’affixe 1 par la
similitude z →
2 + i
2
z +
1 − i
2
; le centre est le point d’affixe
ω =
1 − i
2
1
1 − (1 + i /2)
=
1 − i
2
2
− i
= 1 + i ,
le rapport est
2 + i
2
=
√
5
2
et l’angle est
α = Arg
2 + i
2
= Arg
1 + (i /2)
.
Puisque la partie réelle et la partie imaginaire de 1 + (i /2)
sont positives, on a 0 < α < π/2 ; la tangente d’un argument
est le rapport partie imaginaire sur partie réelle, donc tg(α) = 1/2, ce qui donne
pour α environ 26,565 degrés.
Le groupe des similitudes
Si a est un nombre complexe non nul et si b est un nombre complexe quelconque,
notons f a,b : C → C l’application définie par f a,b (z) = az + b. Pour tous nombres
complexes z et z
, on a l’équivalence
(∗)
z
= az + b ⇐⇒ z = 1
a
z
− b
a
donc l’application f a,b est une transformation bijective de l’ensemble C.
Soit T l’ensemble des applications f a,b , où a = 0.
Nous allons montrer que l’ensemble T est un groupe de transformations de C. Pour
cela, vérifions les trois propriétés de la définition donnée page 28.
® On a f 1,0 (z) = z quel que soit z, donc f 1,0 = id C : la transformation id C appartient
donc à T .
® Composons les transformations f a,b et f c,d , où a et c sont non nuls : pour tout
nombre complexe z, il vient
f a,b ◦ f c,d
(z) = f a,b (cz + d) = a(cz + d) + b = (ac)z + ad + b .
Puisque ac n’est pas nul, la composée f a,b ◦ f c,d = f ac,ad+b appartient à T .
® D’après l’équivalence (∗), la transformation réciproque de f a,b est z
→ 1
a
z
− b
a
=
f 1/a,−b/a (z
), donc on a f
−1
a,b = f 1/a,−b/a . Cela montre que la transformation f
−1
a,b
appartient aussi à T .
42 – LES NOMBRES COMPLEXES