Le point d’affixe f ◦ f (z) se déduit donc du point d’affixe z par la translation de
vecteur 2u
→
i.
M
M
M
s
t
figure 1
figure 2
La figure 1 montre quelques itérés par le glissement f . Les glissements permettent
de réaliser des frises, comme on le voit sur la figure 2 et dans l’exercice 13 page 33.
Les similitudes. Soient a un nombre complexe non nul, b un nombre complexe
et f : C → C la fonction définie par f (z) = az + b.
Soit z un nombre complexe ; notons M le point d’affixe z et M
le point d’affixe f (z).
® Si a = 1, on a f (z) − z = b, donc
− − − − − − − − − − →
MM
=
− − − − − →
OB, où B est le point d’affixe b. Le
vecteur
− − − − − − − − − − →
MM
est fixe, donc la transformation du plan M → M
est la translation
de vecteur
− − − − − →
OB. Si b = 0, il n’y a aucun point fixe ; si b = 0, alors M
= M et la
transformation est l’identité du plan.
®
α = Arg(a)
ΩM
M
= |a| ΩM
M
Ω
Supposons a = 1. Un nombre z est point fixe de f si et seulement si az + b = z,
ce qui équivaut à (1 − a)z = b. L’unique point fixe de f est donc ω = b/(1 − a).
En faisant avec des nombres complexes les mêmes calculs que dans l’exemple 2
page 16, on obtient l’égalité
(∗) f (z) − ω = a(z − ω) , pour tout z ∈ C.
Notons Ω le point d’affixe ω. La distance ΩM est
égale à |z − ω|, de même ΩM
= |f (z) − ω|. D’après
(∗), on a |f (z) − ω| = |a(z − ω)| = |a||z − ω|, donc
ΩM
= |a| ΩM .
α
Ω
R
R
L’angle de vecteurs
− − − − − − − →
ΩM,
− − − − − − − − →
ΩM
a pour mesure
Arg
f (z) − ω
z − ω
= Arg(a) .
Cela signifie que M
est l’image de M par la similitude de centre Ω, de rapport |a| et d’angle Arg(a).
Remarquons que si a est un nombre réel, f est une
homothétie de rapport a. Si a n’est pas réel et si
|a| = 1, alors f est une rotation de centre Ω.
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 41