Angle de vecteurs. Soient A, P, Q des points du plan tels que P = A et Q = A.
Les vecteurs non nuls
− − − − − →
AP et
− − − − − →
AQ forment l’angle
− − − − − →
AP ,
− − − − − →
AQ =
→
i,
− − − − − →
AQ
−
→
i,
− − − − − →
AP
.
Notons p l’affixe du point P et q l’affixe du point Q. Comme le vecteur
− − − − − →
AP est
représenté par le nombre complexe p − a, l’angle
→
i,
− − − − − →
AP a pour mesure l’argument
de p − a ; de même, l’angle
→
i,
− − − − − →
AQ a pour mesure l’argument de q − a. Donc l’angle
− − − − − →
AP ,
− − − − − →
AQ a pour mesure Arg(q − a) − Arg(p − a) = Arg
q − a
p − a
.
O
→
i
→
j
Q(q )
P(p)
A(a)
(q − a)
(p − a)
e
i(y+θ)
e
i y
r a y o n 1
θ/2
θ/2
La figure de droite montre l’aspect géométrique de l’égalité |e
i(y+θ)
− e
i y
| = 2| sin θ
2
|,
pour y et θ réels.
Produit scalaire. Si
− →
U =a
→
i+b
→
j et
− − −
→
U
=a
→
i+b
→
j sont des vecteurs du plan, leur produit scalaire
− →
U ·
− − −
→
U
est le nombre aa
+ bb
. On a (a + b i)(a
+ b
i) = (a − bi)(a
+ b
i) =
aa
+ bb
+ (ab
− ba
) i, donc
− →
U ·
− − −
→
U
= Re(zz
), où z représente le vecteur
− →
U et z
le vecteur
− − −
→
U
.
Exemples de transformations du plan
Les glissements. Étudions la transformation f : C → C définie par f (z) = z + u,
où u est un nombre réel non nul.
Si M est un point d’affixe z = x + y i, avec x et y des nombres réels, le point M
d’affixe z = x−y i est symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses. Soit M
le point
d’affixe f (z)= z +u. Le vecteur
− − − − − − − − − − − − →
M
M
a pour affixe f (z)− z =u et puisque u est réel,
on a
− − − − − − − − − − − − →
M
M
= u
→
i. La transformation du plan définie par M → M
est donc la composée t ◦ s de la translation t de vecteur u
→
i et de la symétrie orthogonale s par rapport
à l’axe Ox des abscisses : une telle transformation s’appelle un glissement d’axe Ox.
On a
f ◦ f (z) = f (z + u) = z + u + u
= z + u + u = z + 2u , car u est réel.
40 – LES NOMBRES COMPLEXES