est une bijection de R dans ]0, +∞[. On a aussi Arg(1) = 0 et Arg(e
u ) = b modulo 2π,
donc b est de la forme 2kπ, où k ∈ Z. Il s’ensuit u = b i = 2kπ i. Réciproquement, pour tout
entier k, on a e
2kπ i = cos(2kπ) + i sin(2kπ) = 1. Cela montre que les nombres complexes
u tels que e
u = 1 sont ceux de la forme 2kπ i, où k est un entier relatif.
Soient maintenant des nombres complexes z et z
. D’après (i), on a l’équivalence e
z
=
e
z
⇐⇒ e
z
−z = e
0 = 1. D’après ce qui précède, cela équivaut à z
− z = 2kπ i, où k ∈ Z.
Proposition. Si x et y sont des nombres réels, alors |e
i x
− e
i y
| = 2| sin
x − y
2
|.
Démonstration. Nous avons e
i x
−e
i y =e
i y (e
i(x−y)
−1) donc |e
i x
−e
i y
|=|e
i y
||e
i(x−y)
−1|=
|e
i(x−y)
− 1| car e
i y est de module 1. Posons θ = x − y. Par définition du module, il vient
|e
i θ − 1|
2 = (e
i θ − 1)(e i θ − 1) = (e
i θ − 1)(e
− i θ − 1)
= e
i θ e
− i θ − (e
i θ + e
− i θ ) + 1
= 1 − 2 Re(e
i θ ) + 1 = 2 − 2 cos θ .
Puisque 1 − cos θ = 2 sin
2 θ
2
, on obtient |e
i θ
− 1|
2 = 4 sin
2 θ
2
, d’où le résultat en prenant les
racines carrées.
1.3 Utilisation géométrique des nombres complexes
Donnons-nous un repère orthonormé (O;
→
i,
→
j) du plan euclidien.
Si z est un nombre complexe, le point de coordonnées (a,b) s’appelle le point d’affixe
z (dans le repère). Le nombre z peut donc se représenter par un point du plan.
Si P
est le point de coordonnées (a
, b
), l’affixe de P
est le nombre z
= a
+ b
i
et le vecteur
− − − − − − − →
P P
est représenté par le nombre complexe z
− z = (a
− a) + (b
− b) i.
Distance. La distance P P
est égale à
(a − a) 2 + (b − b) 2 =|z
−z|. En particulier,
la distance OP est égale au module de z.
Angle polaire.
P
|z| cos t
|z| sin t
t
U
→
i
→
j
O
Soit P un point du plan différent de
l’origine. Si z est l’affixe de P , les coordonnées de P sont
(|z|cost,|z|sint), où t = Argz. Soit U le point de coordonnées (cost,sint). L’angle de vecteurs
→
i,
− − − − − →
OU a pour mesure
t. On a
− − − − − →
OP =|z|
− − − − − →
OU et |z|>0, donc
→
i,
− − − − − →
OP =
→
i,
− − − − − →
OU . L’angle
→
i,
− − − − − →
OP s’appelle l’angle polaire de P . L’angle polaire d’un
point d’affixe z = 0 a donc pour mesure Arg z.
Coordonnées polaires. Puisqu’un nombre complexe non nul est déterminé par
son module et son argument, tout point M du plan, différent de l’origine, est déterminé par la distance OM et l’angle polaire
→
i,
− − − − − − − →
OM . Soit θ ∈ [0,2π[ la mesure de l’angle
polaire et soit r =OM : les nombres r,θ s’appellent les coordonnées polaires du point M .
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 39
u ) = b modulo 2π,
donc b est de la forme 2kπ, où k ∈ Z. Il s’ensuit u = b i = 2kπ i. Réciproquement, pour tout
entier k, on a e
2kπ i = cos(2kπ) + i sin(2kπ) = 1. Cela montre que les nombres complexes
u tels que e
u = 1 sont ceux de la forme 2kπ i, où k est un entier relatif.
Soient maintenant des nombres complexes z et z
. D’après (i), on a l’équivalence e
z
=
e
z
⇐⇒ e
z
−z = e
0 = 1. D’après ce qui précède, cela équivaut à z
− z = 2kπ i, où k ∈ Z.
Proposition. Si x et y sont des nombres réels, alors |e
i x
− e
i y
| = 2| sin
x − y
2
|.
Démonstration. Nous avons e
i x
−e
i y =e
i y (e
i(x−y)
−1) donc |e
i x
−e
i y
|=|e
i y
||e
i(x−y)
−1|=
|e
i(x−y)
− 1| car e
i y est de module 1. Posons θ = x − y. Par définition du module, il vient
|e
i θ − 1|
2 = (e
i θ − 1)(e i θ − 1) = (e
i θ − 1)(e
− i θ − 1)
= e
i θ e
− i θ − (e
i θ + e
− i θ ) + 1
= 1 − 2 Re(e
i θ ) + 1 = 2 − 2 cos θ .
Puisque 1 − cos θ = 2 sin
2 θ
2
, on obtient |e
i θ
− 1|
2 = 4 sin
2 θ
2
, d’où le résultat en prenant les
racines carrées.
1.3 Utilisation géométrique des nombres complexes
Donnons-nous un repère orthonormé (O;
→
i,
→
j) du plan euclidien.
Si z est un nombre complexe, le point de coordonnées (a,b) s’appelle le point d’affixe
z (dans le repère). Le nombre z peut donc se représenter par un point du plan.
Si P
est le point de coordonnées (a
, b
), l’affixe de P
est le nombre z
= a
+ b
i
et le vecteur
− − − − − − − →
P P
est représenté par le nombre complexe z
− z = (a
− a) + (b
− b) i.
Distance. La distance P P
est égale à
(a − a) 2 + (b − b) 2 =|z
−z|. En particulier,
la distance OP est égale au module de z.
Angle polaire.
P
|z| cos t
|z| sin t
t
U
→
i
→
j
O
Soit P un point du plan différent de
l’origine. Si z est l’affixe de P , les coordonnées de P sont
(|z|cost,|z|sint), où t = Argz. Soit U le point de coordonnées (cost,sint). L’angle de vecteurs
→
i,
− − − − − →
OU a pour mesure
t. On a
− − − − − →
OP =|z|
− − − − − →
OU et |z|>0, donc
→
i,
− − − − − →
OP =
→
i,
− − − − − →
OU . L’angle
→
i,
− − − − − →
OP s’appelle l’angle polaire de P . L’angle polaire d’un
point d’affixe z = 0 a donc pour mesure Arg z.
Coordonnées polaires. Puisqu’un nombre complexe non nul est déterminé par
son module et son argument, tout point M du plan, différent de l’origine, est déterminé par la distance OM et l’angle polaire
→
i,
− − − − − − − →
OM . Soit θ ∈ [0,2π[ la mesure de l’angle
polaire et soit r =OM : les nombres r,θ s’appellent les coordonnées polaires du point M .
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 39