Argument d'un produit ou d'un quotient. Si des nombres complexes non nuls
z et z
ont pour argument t et t
, alors
® le produit zz
a pour argument t + t
modulo 2π,
® le quotient z
z
a pour argument t − t
modulo 2π.
1.2 Exponentielle d'un nombre complexe
Pour tout nombre réel x, on sait définir l’exponentielle de x, notée exp x ou encore
e
x . On a e
0 = 1, e
x > 0 et e
x e
x
= e
x+x
pour tous nombres réels x, x
.
Définition
Si z = x + y i est un nombre complexe, où x et y sont réels, le nombre complexe
exp z = (exp x)(cos y + i sin y) s’appelle l’exponentielle de z ; on le note aussi e
z .
Cette notation est justifiée, car si z est un nombre réel x, alors sa partie imaginaire
y est nulle, on a cos y + i sin y = 1 et exp z est égal à l’exponentielle réelle de x.
D’après la définition, on a pour tous nombres réels x et y, les relations
® e
i y = cos y + i sin y , e
x+i y = e
x e
i y
® cos y = Re(e
i y ) = 1
2
(e
i y + e
− i y ) , sin y = Im(e
i y ) = 1
2 i
(e
i y
− e
− i y )
® e
i π/2 = i , e
i π = −1 , e
2 i π = 1.
® e
i(y+π) = −e
i y , e
i(y+2π)) = e
i y
Exemples. On a 1 + i =
√
2 e
i π/4 ,
√
3 + i = 2e
i π/6 et 1 + i
√
3 = 2e
i π/3 .
Propriétés de l'exponentielle
1) Pour tous nombres complexes z et z
, on a e
z e
z
= e
z+z
.
2) Pour tout nombre complexe z, on a e z =e z , |e
z
|=e Re(z) et Arg(e
z )=Im(z) modulo 2π.
3) Pour tous nombres complexes z et z
, on a l’équivalence e
z
=e
z
⇐⇒ z
=z+2kπi, où k∈Z.
Démonstration
1) En posant z = x + i y et z
= x
+ i y
, où x, y, x
, y
sont réels, il vient
e
z e
z
= (exp x)(cos y + i sin y)(exp x
)(cos y
+ i sin y
)
= (exp x)(exp x
)(cos y + i sin y)(cos y
+ i sin y
)
= exp(x + x
)
cos(y + y
) + i sin(y + y
)
= e
z+z
, d’après la formule de Moivre.
2) Posons z = x + i y, où x = Re(z) et y = Im(z). On a l’égalité
e i y = cos y + i sin y = cos y − i sin y = e
− i y
et puisque e
z = e
x e
i y , il vient e z = e x e i y = e
x e i y = e
x e
− i y = e
x−i y = e z .
On a aussi |e
i y
| = | cos y + i sin y| = 1, donc |e
z
| =
e
x e
i y
| = |e
x
||e
i y
| = e
x , car e
x est positif.
Par définition, Arg(e
z ) = Arg(e
i y ) est égal à y modulo 2π.
3) Supposons que u est un nombre complexe tel que e
u = 1 et posons u = a + b i, où a et b
sont des nombres réels. On a 1 = |e
u
| = e
a , donc a = 0 car la fonction exponentielle réelle
38 – LES NOMBRES COMPLEXES