Par suite,
|z + z
|
2 |z|
2 + 2 |Re(zz
)| + |z
|
2
car pour tout nombre réel x, on a x |x|
|z|
2 + 2|z||z
| + |z
|
2
car |Re(zz
)| |zz
| = |z||z
| = |z||z
|
(|z| + |z
|)
2 .
Puisque le module est un nombre réel positif ou nul, on en déduit l’inégalité triangulaire
en prenant les racines carrées.
Exemple. Supposons qu’un nombre complexe z vérifie l’inégalité |z − a| < a, où a
est un nombre réel strictement positif. Puisque Re(a) = a, on a alors | Re(z) − a| =
| Re(z − a)| |z − a| < a, ou encore −a < Re(z) − a < a : cela implique Re(z) > 0.
Argument d'un nombre complexe. Rappelons la propriété suivante :
si a et b sont des nombres réels tels que a
2 + b
2 = 1, il existe
un unique nombre réel t ∈ [0, 2π[ tel que a = cos t et b = sin t.
Puisqu’un nombre complexe de module 1 s’écrit a + b i, où a et b sont des nombres
réels vérifiant a
2 + b
2 = 1, on en déduit que tout nombre complexe de module 1 est
de la forme cos t + i sin t.
Si z est un nombre complexe non nul, le nombre z
|z|
est de module 1, donc s’écrit
z
|z|
= cos t + i sin t, où t ∈ [0, 2π[.
Définition
Tout nombre complexe z = 0 s’écrit de manière unique z = |z|(cos t + i sin t), où
t ∈ [0, 2π[. Le nombre t s’appelle l’argument de z et se note Arg(z).
® Des nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement s’ils ont même module
et même argument.
® Soit z un nombre complexe non nul. Le nombre z est réel positif si et seulement
si Arg(z) = 0. Le nombre z est réel négatif si et seulement si Arg(z) = π.
Formules de Moivre. Pour tous nombres réels t et t
, on a
i)
cos t + i sin t
cos t
+ i sin t
= cos(t + t
) + i sin(t + t
).
ii)
cos t + i sin t
−1 = cos t − i sin t.
iii)
cos t + i sin t
n = cos nt + i sin nt, pour tout entier n ∈ Z.
Démonstration. La première égalité est une transcription des formules de trigonométrie
cos(t + t
) = cos t cos t
− sin t sin t
et sin(t + t
) = sin t cos t
+ cos t sin t
. Le nombre cos t + i sin t
étant de module 1, son inverse est égal à son conjugué cos t − i sin t. La troisième formule se
démontre par récurrence pour n 1 en utilisant (i) ; on en déduit la formule pour n < 0 en
appliquant (ii) et les relations cos(−nt) = cos(nt) et sin(−nt) = − sin(nt).
Pour pratiquer la dernière formule de Moivre, on utilise le développement de (a + b)
n
par la formule du binôme de Newton (page 61).
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 37
|z + z
|
2 |z|
2 + 2 |Re(zz
)| + |z
|
2
car pour tout nombre réel x, on a x |x|
|z|
2 + 2|z||z
| + |z
|
2
car |Re(zz
)| |zz
| = |z||z
| = |z||z
|
(|z| + |z
|)
2 .
Puisque le module est un nombre réel positif ou nul, on en déduit l’inégalité triangulaire
en prenant les racines carrées.
Exemple. Supposons qu’un nombre complexe z vérifie l’inégalité |z − a| < a, où a
est un nombre réel strictement positif. Puisque Re(a) = a, on a alors | Re(z) − a| =
| Re(z − a)| |z − a| < a, ou encore −a < Re(z) − a < a : cela implique Re(z) > 0.
Argument d'un nombre complexe. Rappelons la propriété suivante :
si a et b sont des nombres réels tels que a
2 + b
2 = 1, il existe
un unique nombre réel t ∈ [0, 2π[ tel que a = cos t et b = sin t.
Puisqu’un nombre complexe de module 1 s’écrit a + b i, où a et b sont des nombres
réels vérifiant a
2 + b
2 = 1, on en déduit que tout nombre complexe de module 1 est
de la forme cos t + i sin t.
Si z est un nombre complexe non nul, le nombre z
|z|
est de module 1, donc s’écrit
z
|z|
= cos t + i sin t, où t ∈ [0, 2π[.
Définition
Tout nombre complexe z = 0 s’écrit de manière unique z = |z|(cos t + i sin t), où
t ∈ [0, 2π[. Le nombre t s’appelle l’argument de z et se note Arg(z).
® Des nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement s’ils ont même module
et même argument.
® Soit z un nombre complexe non nul. Le nombre z est réel positif si et seulement
si Arg(z) = 0. Le nombre z est réel négatif si et seulement si Arg(z) = π.
Formules de Moivre. Pour tous nombres réels t et t
, on a
i)
cos t + i sin t
cos t
+ i sin t
= cos(t + t
) + i sin(t + t
).
ii)
cos t + i sin t
−1 = cos t − i sin t.
iii)
cos t + i sin t
n = cos nt + i sin nt, pour tout entier n ∈ Z.
Démonstration. La première égalité est une transcription des formules de trigonométrie
cos(t + t
) = cos t cos t
− sin t sin t
et sin(t + t
) = sin t cos t
+ cos t sin t
. Le nombre cos t + i sin t
étant de module 1, son inverse est égal à son conjugué cos t − i sin t. La troisième formule se
démontre par récurrence pour n 1 en utilisant (i) ; on en déduit la formule pour n < 0 en
appliquant (ii) et les relations cos(−nt) = cos(nt) et sin(−nt) = − sin(nt).
Pour pratiquer la dernière formule de Moivre, on utilise le développement de (a + b)
n
par la formule du binôme de Newton (page 61).
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 37