Définitions
Soit z = a + b i un nombre complexe, où a et b sont des nombres réels.
® Le nombre a, appelé partie réelle de z, se note Re(z) ; le nombre b, appelé
partie imaginaire de z, se note Im(z).
® Le conjugué de z est le nombre complexe z = a − b i. Le module de z est le
nombre réel positif ou nul |z| =
√
a 2 + b 2 .
On a les relations : 2 Re(z) = z + z , 2 i Im(z) = z − z , |z| = |z| , zz = |z|
2
les équivalences : ( |z| = 0 ⇐⇒ z = 0 ) , ( z ∈ R ⇐⇒ z = z )
et les inégalités :
| Re(z)| |z| et | Im(z)| |z|.
Pour montrer ces inégalités, il suffit de remarquer que si z = a + b i, alors a
2
a
2 + b
2
donc |a|
√
a 2 + b 2 , et de même |b|
√
a 2 + b 2 .
Si z est un nombre réel, le module de z est simplement la valeur absolue.
Inverse d'un nombre complexe non nul. Si z est un nombre complexe non
nul, le module de z est un nombre réel non nul ; en divisant par |z|
2 l’égalité
zz = |z|
2 , on obtient z
1
|z|
2
z
= 1 : cela signifie que le nombre complexe 1
|z|
2
z est
l’inverse de z pour la multiplication.
Si z =a+bi est un nombre complexe non nul, l’inverse de z pour la multiplication est le nombre complexe z
−1 = 1
z
= z
|z|
2
=
a
a
2 + b
2
−
b
a
2 + b
2
i.
Calculs sur le conjugué et le module. Pour tous nombres complexes z et z
, on a
i) z + z = z + z , zz = z z et si z = 0,
z
z
= z
z
.
ii) |zz
| = |z||z
| et si z = 0,
z
z
=
|z
|
|z|
.
iii) |z + z
| |z| + |z
| (inégalité triangulaire)
Démonstration
i) Si z = a + bi et z
= a
+ b
i, alors z + z = a+a
−bi−b
i = z + z et z z = (a − bi)(a
− b
i) =
(aa
−bb
) − (ab
+ba
) i = zz . Pour la troisième égalité, il suffit de montrer que pour z = 0,
le conjugué de 1
z
est 1
z
, ce qui résulte de la formule
1
a + b i
=
a
a
2 + b
2
−
b
a
2 + b
2
i.
ii) Puisque |z|
2 = zz et |z
|
2 = z
z , il vient
(|z||z
|)
2 = |z|
2 |z
|
2 = zzz
z = (zz
)(z z ) = (zz
)(zz ) = |zz
|
2 .
Si z = 0, alors on a 1 = |1| =
z 1
z
= |z|
1
z
, donc
1
z
= 1
|z|
.
iii) On a
|z+z
|
2 = (z+z
)(z+z ) = zz + zz + z
z + z
z
= |z|
2 + 2 Re(zz
) + |z
|
2 , car zz = zz .
36 – LES NOMBRES COMPLEXES
Soit z = a + b i un nombre complexe, où a et b sont des nombres réels.
® Le nombre a, appelé partie réelle de z, se note Re(z) ; le nombre b, appelé
partie imaginaire de z, se note Im(z).
® Le conjugué de z est le nombre complexe z = a − b i. Le module de z est le
nombre réel positif ou nul |z| =
√
a 2 + b 2 .
On a les relations : 2 Re(z) = z + z , 2 i Im(z) = z − z , |z| = |z| , zz = |z|
2
les équivalences : ( |z| = 0 ⇐⇒ z = 0 ) , ( z ∈ R ⇐⇒ z = z )
et les inégalités :
| Re(z)| |z| et | Im(z)| |z|.
Pour montrer ces inégalités, il suffit de remarquer que si z = a + b i, alors a
2
a
2 + b
2
donc |a|
√
a 2 + b 2 , et de même |b|
√
a 2 + b 2 .
Si z est un nombre réel, le module de z est simplement la valeur absolue.
Inverse d'un nombre complexe non nul. Si z est un nombre complexe non
nul, le module de z est un nombre réel non nul ; en divisant par |z|
2 l’égalité
zz = |z|
2 , on obtient z
1
|z|
2
z
= 1 : cela signifie que le nombre complexe 1
|z|
2
z est
l’inverse de z pour la multiplication.
Si z =a+bi est un nombre complexe non nul, l’inverse de z pour la multiplication est le nombre complexe z
−1 = 1
z
= z
|z|
2
=
a
a
2 + b
2
−
b
a
2 + b
2
i.
Calculs sur le conjugué et le module. Pour tous nombres complexes z et z
, on a
i) z + z = z + z , zz = z z et si z = 0,
z
z
= z
z
.
ii) |zz
| = |z||z
| et si z = 0,
z
z
=
|z
|
|z|
.
iii) |z + z
| |z| + |z
| (inégalité triangulaire)
Démonstration
i) Si z = a + bi et z
= a
+ b
i, alors z + z = a+a
−bi−b
i = z + z et z z = (a − bi)(a
− b
i) =
(aa
−bb
) − (ab
+ba
) i = zz . Pour la troisième égalité, il suffit de montrer que pour z = 0,
le conjugué de 1
z
est 1
z
, ce qui résulte de la formule
1
a + b i
=
a
a
2 + b
2
−
b
a
2 + b
2
i.
ii) Puisque |z|
2 = zz et |z
|
2 = z
z , il vient
(|z||z
|)
2 = |z|
2 |z
|
2 = zzz
z = (zz
)(z z ) = (zz
)(zz ) = |zz
|
2 .
Si z = 0, alors on a 1 = |1| =
z 1
z
= |z|
1
z
, donc
1
z
= 1
|z|
.
iii) On a
|z+z
|
2 = (z+z
)(z+z ) = zz + zz + z
z + z
z
= |z|
2 + 2 Re(zz
) + |z
|
2 , car zz = zz .
36 – LES NOMBRES COMPLEXES