Chapitre 2
Nombres complexes
et polynômes
1. Les nombres complexes
Ajoutons à l’ensemble des nombres réels un symbole i et étendons à cet ensemble les
opérations somme et produit : on forme ainsi les expressions r 0 +r 1 i+r 2 i
2 +· · ·+r p i
p ,
où les coefficients r k sont des nombres réels. La somme et le produit de deux telles
expressions est de la même forme.
Convenons que le symbole i vérifie la relation i
2 = −1.
L’ensemble des expressions r 0 + r 1 i +r 2 i
2 + · · · + r p i
p , muni de la somme et du
produit, se note C et s’appelle l’ensemble des nombres complexes. La relation i
2 = −1
permet de simplifier l’expression d’un nombre complexe : on a i
3 = (i
2 ) i = − i et
i
4 =(−1)
2 =1, donc par exemple 1−2i+3i
3 +4i
5 =1−2i+3(−i)+4i =1−i. Plus généralement, pour tout entier n0, on a i
2n =(i
2 )
n =(−1)
n et i
2n+1 =(i
2n )i=(−1)
n i.
Il s’ensuit que tout élément de C s’écrit a + b i, avec a et b des nombres réels.
1.1 Règles de calcul sur les nombres complexes
Voici les règles concernant les expressions a + b i, où a et b sont des nombres réels.
i) (a + bi)+(a
+ b
i) = (a + a
)+(b + b
)i et (a + bi)(a
+ b
i) = (aa
− bb
)+(ab
+ ba
)i.
ii) On a l’équivalence a + b i = 0 ⇐⇒ (a = 0 et b = 0).
Démontrons le sens direct de (ii). Supposons que a et b sont des nombres réels tels que
a + b i = 0, ou encore a = −b i. En élevant au carré, on obtient a
2 = (−b i)
2 = b
2 i
2 = −b
2 .
Mais puisque a et b sont des nombres réels, a
2 est positif ou nul et −b
2 est négatif ou
nul, donc a = b = 0.
Chapitre 2 – NOMBRES COMPLEXES ET POLYN ˆ
OMES – 35