b) On suppose p
2 > q. Montrer qu’il y a deux nombres réels u et v différents tels
que f (x, y) = (x + uy)(x + vy) pour tout (x, y). En déduire que f (x, y) ne garde
pas un signe fixe.
c) On suppose f (x, y) = x
2
− xy − 2y
2 .
(i) Décomposer f (x, y) en produit de facteurs comme en (b), en calculant les
nombres u et v.
(ii) Définir un repère (O;
→
i
,
− →
j
) du plan euclidien R
2 dont les axes ont pour équation
x + uy = 0 et x + vy = 0. Quelle est l’équation d’une ligne de niveau de f dans
ce nouveau repère ?
(iii) Dessiner sur un même dessin les lignes de niveau −1, 0, 1 et 2 de la fonction f .
13
@ . Effet multiplicateur en Économie. Quand des acteurs économiques (particuliers, collectivités ou entreprises) disposent d’une somme d’argent, ils en dépensent une partie
auprès des autres et épargnent (ou capitalisent) le reste. Supposons qu’une politique de baisse d’impôts ou le financement de grands travaux, par exemple, mette
à disposition des acteurs économiques une somme d’argent S . Supposons aussi que
lorsqu’ils disposent d’une somme d’argent, les acteurs en redépensent tous la même
fraction c, où 0 < c < 1 ; le nombre c s’appelle la proportion marginale à consommer.
Notons S n le cumul des sommes utilisées en consommation après n transactions.
Calculer S n et montrer que lim
n→+∞
S n = S
1−c
. Le coefficient k = 1
1−c
s’appelle le
coefficient multiplicateur. Combien vaut k lorsque les acteurs redépensent 75% de la
somme à disposition ? Quel est l’intérêt économique d’un tel processus ?
Construction d'un pentagone régulier inscrit dans un cercle
U
U
O H K
V P
ω
® UU
est un diamètre, OV est un rayon perpendiculaire
® ω est le milieu de OU
® K est défini par ωK = ωV
® H est le milieu de OK
® HP est perpendiculaire à OU .
Alors l’angle
− − − − − →
OU ,
− − − − − →
OP vaut 2π
5
, OH = cos 2π
5
et
UP est le côté du pentagone régulier.
56 – EXERCICES
2 > q. Montrer qu’il y a deux nombres réels u et v différents tels
que f (x, y) = (x + uy)(x + vy) pour tout (x, y). En déduire que f (x, y) ne garde
pas un signe fixe.
c) On suppose f (x, y) = x
2
− xy − 2y
2 .
(i) Décomposer f (x, y) en produit de facteurs comme en (b), en calculant les
nombres u et v.
(ii) Définir un repère (O;
→
i
,
− →
j
) du plan euclidien R
2 dont les axes ont pour équation
x + uy = 0 et x + vy = 0. Quelle est l’équation d’une ligne de niveau de f dans
ce nouveau repère ?
(iii) Dessiner sur un même dessin les lignes de niveau −1, 0, 1 et 2 de la fonction f .
13
@ . Effet multiplicateur en Économie. Quand des acteurs économiques (particuliers, collectivités ou entreprises) disposent d’une somme d’argent, ils en dépensent une partie
auprès des autres et épargnent (ou capitalisent) le reste. Supposons qu’une politique de baisse d’impôts ou le financement de grands travaux, par exemple, mette
à disposition des acteurs économiques une somme d’argent S . Supposons aussi que
lorsqu’ils disposent d’une somme d’argent, les acteurs en redépensent tous la même
fraction c, où 0 < c < 1 ; le nombre c s’appelle la proportion marginale à consommer.
Notons S n le cumul des sommes utilisées en consommation après n transactions.
Calculer S n et montrer que lim
n→+∞
S n = S
1−c
. Le coefficient k = 1
1−c
s’appelle le
coefficient multiplicateur. Combien vaut k lorsque les acteurs redépensent 75% de la
somme à disposition ? Quel est l’intérêt économique d’un tel processus ?
Construction d'un pentagone régulier inscrit dans un cercle
U
U
O H K
V P
ω
® UU
est un diamètre, OV est un rayon perpendiculaire
® ω est le milieu de OU
® K est défini par ωK = ωV
® H est le milieu de OK
® HP est perpendiculaire à OU .
Alors l’angle
− − − − − →
OU ,
− − − − − →
OP vaut 2π
5
, OH = cos 2π
5
et
UP est le côté du pentagone régulier.
56 – EXERCICES