a) Montrer que pour tout t, on a |sin(t/2)| = 2
π
− 4
π
+∞
n=1
cos nt
4n
2
−1
.
b) En déduire que les c n doivent satisfaire les relations c 0 = 1
π
et (n
2
−2 + 2n i)c n =
2
π
1
4n
2 −1
pour n ∈ Z, n = 0. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de c n .
Admettons les résultats suivants :
® si n
3
|c n | a une limite finie quand n tend vers ±∞, alors f a une dérivée continue ;
® si n
4
|c n | a une limite finie quand n tend vers ±∞, alors f a une dérivée
seconde continue.
d) Montrer que la fonction f (t) = 1
π
+ 4
π
+∞
n=1
(n
2
−2) cos nt
(4n
2
−1)(n
4 +4)
+ 4
π
+∞
n=1
2n sin nt
(4n
2
−1)(n
4 +4)
est solution de l’équation différentielle.
13
@ . La formule de Poisson. Soit h : R → R une fonction continue. Supposons que lorsque
x tend vers ±∞, h(x) est négligeable devant 1/|x|
α , où α > 1.
a) Soient a > 0, x ∈ [−a, a] et |n| > a. Montrer que |x+n| |n|−a. En déduire que
les nombres n
α
h(x+n)
sont majorés quand x parcourt [−a, a] et quand n parcourt Z. Conclure qu’il existe une série
a n =
M/n
α convergente telle que
h(x+n)
a n pour tout n ∈ Z et tout x ∈ [−a, a]. La série
h(x+n) est donc
absolument convergente quel que soit x ∈ R.
b) Pour tout x ∈ R, posons f (x) =
+∞
n=−∞ h(x+n).
i) Montrer que la fonction f est périodique de période 1.
ii) Pour tout entier relatif p, écrivons c p (f ) = u N + A N , où
U N =
1
0
N
n=−N
h(t+n)
e
−2 i πpt dt et A N =
1
0
|n|>N
h(t+n)
e
−2 i πpt dt.
Montrer que |A N |
|n|>N a n . En déduire lim
N →+∞
|A N | = 0.
iii) Montrer que
1
0
h(t+n)e
−2 i πpt dt =
n+1
n
h(s)e
−2 i πps ds. En déduire
U N =
N +1
−N
h(s)e
−2 i πps ds.
(iv) En utilisant l’hypothèse faite sur h, montrer que l’intégrale généralisée
+∞
−∞
h(s)e
−2 i πps ds existe.
c) Pour tout entier p ∈ Z, posons ˆ
h(p) =
+∞
−∞
h(s)e
−2 i πps ds. Déduire de (b) (ii) et (iii)
que l’on a c p (f ) = ˆ
h(p).
d) Supposons de plus que la série
ˆ h(p)
est convergente. Montrer que pour tout
x ∈ R, on a l’égalité
+∞
n=−∞ h(x+n) =
+∞
n=−∞
ˆ
h(n)e
2 i πnx . En déduire la formule
de Poisson :
+∞
n=−∞ h(n) =
+∞
n=−∞
ˆ
h(n).
574 – EXERCICES
π
− 4
π
+∞
n=1
cos nt
4n
2
−1
.
b) En déduire que les c n doivent satisfaire les relations c 0 = 1
π
et (n
2
−2 + 2n i)c n =
2
π
1
4n
2 −1
pour n ∈ Z, n = 0. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de c n .
Admettons les résultats suivants :
® si n
3
|c n | a une limite finie quand n tend vers ±∞, alors f a une dérivée continue ;
® si n
4
|c n | a une limite finie quand n tend vers ±∞, alors f a une dérivée
seconde continue.
d) Montrer que la fonction f (t) = 1
π
+ 4
π
+∞
n=1
(n
2
−2) cos nt
(4n
2
−1)(n
4 +4)
+ 4
π
+∞
n=1
2n sin nt
(4n
2
−1)(n
4 +4)
est solution de l’équation différentielle.
13
@ . La formule de Poisson. Soit h : R → R une fonction continue. Supposons que lorsque
x tend vers ±∞, h(x) est négligeable devant 1/|x|
α , où α > 1.
a) Soient a > 0, x ∈ [−a, a] et |n| > a. Montrer que |x+n| |n|−a. En déduire que
les nombres n
α
h(x+n)
sont majorés quand x parcourt [−a, a] et quand n parcourt Z. Conclure qu’il existe une série
a n =
M/n
α convergente telle que
h(x+n)
a n pour tout n ∈ Z et tout x ∈ [−a, a]. La série
h(x+n) est donc
absolument convergente quel que soit x ∈ R.
b) Pour tout x ∈ R, posons f (x) =
+∞
n=−∞ h(x+n).
i) Montrer que la fonction f est périodique de période 1.
ii) Pour tout entier relatif p, écrivons c p (f ) = u N + A N , où
U N =
1
0
N
n=−N
h(t+n)
e
−2 i πpt dt et A N =
1
0
|n|>N
h(t+n)
e
−2 i πpt dt.
Montrer que |A N |
|n|>N a n . En déduire lim
N →+∞
|A N | = 0.
iii) Montrer que
1
0
h(t+n)e
−2 i πpt dt =
n+1
n
h(s)e
−2 i πps ds. En déduire
U N =
N +1
−N
h(s)e
−2 i πps ds.
(iv) En utilisant l’hypothèse faite sur h, montrer que l’intégrale généralisée
+∞
−∞
h(s)e
−2 i πps ds existe.
c) Pour tout entier p ∈ Z, posons ˆ
h(p) =
+∞
−∞
h(s)e
−2 i πps ds. Déduire de (b) (ii) et (iii)
que l’on a c p (f ) = ˆ
h(p).
d) Supposons de plus que la série
ˆ h(p)
est convergente. Montrer que pour tout
x ∈ R, on a l’égalité
+∞
n=−∞ h(x+n) =
+∞
n=−∞
ˆ
h(n)e
2 i πnx . En déduire la formule
de Poisson :
+∞
n=−∞ h(n) =
+∞
n=−∞
ˆ
h(n).
574 – EXERCICES