a) Montrer que pour tout entier n, on a
π
−π
f (t) sin nt dt = 2
π
0
u(t) sin nt dt.
b) Montrer que
π
0
u(t) sin nt dt vaut 0 si n est pair et π
2n
3
si n est impair. En
déduire que pour 0 x < π, on a l’égalité π
8
x(π−x) =
+∞
n=0
sin(2n + 1)x
(2n+1)
3
.
c) Montrer les égalités
+∞
n=0
(−1)
n
(2n+1)
3
= π
3
32
et
+∞
n=0
1
(2n+1)
6
= π
6
960
.
11.
y
z
x
O
a
b
h
Oscillations dans un bassin rectangulaire. On laisse osciller librement la surface de l’eau
dans un bassin rectangulaire de longueur a, de largeur b et de profondeur h. Choisissons des axes Ox et Oy comme sur la figure ci-contre.
L’élévation de l’eau au dessus du niveau de repos est une
fonction Z(x, y, t) = cos(ωt+ϕ)u(x, y) solution de l’équation
∂
2 Z
∂t
2
= c
2 ΔZ , où c =
gh et ΔZ = ∂
2 Z
∂x
2
+ ∂
2 Z
∂y
2
.
De plus, en un point de la paroi, il n’y a pas de déplacement dans la direction
perpendiculaire à celle-ci : on a donc les conditions aux bords ∂u
∂x
= 0 si x = 0 ou
x = a, et ∂u
∂y
= 0 si y = 0 ou y = b.
a) Montrer que l’équation s’écrit Δu + ω
2
c
2
u = 0.
b) Cherchons une solution sous la forme u(x, y) = A cos(αx+ϕ 1 ) cos(βy+ϕ 2 ),
où A est une constante. Montrer que les conditions aux bords imposent
u(x, y) = A k,, cos
kπx
a
cos
πy
b
, avec k et des entiers.
c) Calculer Δu et en utilisant (a), montrer que ω
2 = π
2 c
2
k
2
a
2
+
2
b
2
. En déduire la solution Z k,, = A k,, cos
kπx
a
cos
πy
b
cos(ω k,, t + ϕ k,, ), où k et sont des entiers
et où ω k,, = πc
k
2
a
2
+
2
b
2
1/2
.
d) Expliquer le premier mode d’oscillation de la surface de l’eau (a > b, k = 1 et
= 0) : il y a une seule vague longitudinale qui va et vient, avec un noeud à
mi-longueur de bassin (x = a/2).
On peut voir un autre mode d’oscillation sur les figures 2 et 3 page 360.
En décomposant la fonction u(x, y) en double-série de Fourier, on montre que la
solution générale est de la forme
k,, Z k,, , la sommation se faisant sur tous les
couples d’entiers k, ,.
12
@ . Calcul d'une solution périodique d'équation différentielle. On considère l’équation différentielle linéaire y
− 2y
+ 2y = |sin(t/2)|. Le second membre étant 2π-périodique,
cherchons une solution 2π-périodique t → f (t) sous la forme de son développement
de Fourier f (t) =
n∈Z c n e
i nt .
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 573
π
−π
f (t) sin nt dt = 2
π
0
u(t) sin nt dt.
b) Montrer que
π
0
u(t) sin nt dt vaut 0 si n est pair et π
2n
3
si n est impair. En
déduire que pour 0 x < π, on a l’égalité π
8
x(π−x) =
+∞
n=0
sin(2n + 1)x
(2n+1)
3
.
c) Montrer les égalités
+∞
n=0
(−1)
n
(2n+1)
3
= π
3
32
et
+∞
n=0
1
(2n+1)
6
= π
6
960
.
11.
y
z
x
O
a
b
h
Oscillations dans un bassin rectangulaire. On laisse osciller librement la surface de l’eau
dans un bassin rectangulaire de longueur a, de largeur b et de profondeur h. Choisissons des axes Ox et Oy comme sur la figure ci-contre.
L’élévation de l’eau au dessus du niveau de repos est une
fonction Z(x, y, t) = cos(ωt+ϕ)u(x, y) solution de l’équation
∂
2 Z
∂t
2
= c
2 ΔZ , où c =
gh et ΔZ = ∂
2 Z
∂x
2
+ ∂
2 Z
∂y
2
.
De plus, en un point de la paroi, il n’y a pas de déplacement dans la direction
perpendiculaire à celle-ci : on a donc les conditions aux bords ∂u
∂x
= 0 si x = 0 ou
x = a, et ∂u
∂y
= 0 si y = 0 ou y = b.
a) Montrer que l’équation s’écrit Δu + ω
2
c
2
u = 0.
b) Cherchons une solution sous la forme u(x, y) = A cos(αx+ϕ 1 ) cos(βy+ϕ 2 ),
où A est une constante. Montrer que les conditions aux bords imposent
u(x, y) = A k,, cos
kπx
a
cos
πy
b
, avec k et des entiers.
c) Calculer Δu et en utilisant (a), montrer que ω
2 = π
2 c
2
k
2
a
2
+
2
b
2
. En déduire la solution Z k,, = A k,, cos
kπx
a
cos
πy
b
cos(ω k,, t + ϕ k,, ), où k et sont des entiers
et où ω k,, = πc
k
2
a
2
+
2
b
2
1/2
.
d) Expliquer le premier mode d’oscillation de la surface de l’eau (a > b, k = 1 et
= 0) : il y a une seule vague longitudinale qui va et vient, avec un noeud à
mi-longueur de bassin (x = a/2).
On peut voir un autre mode d’oscillation sur les figures 2 et 3 page 360.
En décomposant la fonction u(x, y) en double-série de Fourier, on montre que la
solution générale est de la forme
k,, Z k,, , la sommation se faisant sur tous les
couples d’entiers k, ,.
12
@ . Calcul d'une solution périodique d'équation différentielle. On considère l’équation différentielle linéaire y
− 2y
+ 2y = |sin(t/2)|. Le second membre étant 2π-périodique,
cherchons une solution 2π-périodique t → f (t) sous la forme de son développement
de Fourier f (t) =
n∈Z c n e
i nt .
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
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