6
@ . Une propriété des polynômes de Legendre. Pour tout nombre z, on définit la fonction
V (h) = (1−2zh+h
2 )
−1/2 , où la variable h est réelle.
a) Montrer que (1−2zh+h
2 ) dV
dh
= (z−h)V .
b) La fonction V est développable en série entière : montrer que les coefficients
sont des polynômes en z, autrement dit que si |h| est assez petit, alors
V (h) = Q 0 (z) + Q 1 (z)h + Q 2 (z)h
2 + · · · + Q k (z)h
k + · · ·, où Q 0 , Q 1 , Q 2 , . . . sont des
polynômes. Calculer Q 0 et Q 1 et vérifier que l’on a Q 2 (z) = (3/2)z
2
−(1/2).
c) Montrer que le coefficient de h
n dans (1−2zh+h
2 ) dV
dh
est
(n+1)Q n+1 − 2nzQ n + (n−1)Q n−1 .
Déduire de (a) que les polynômes Q n satisfont la même relation de récurrence
que les polynômes de Legendre : (n+1)Q n+1 = (2n+1)zQ n − nQ n−1 .
d) Soit z un nombre donné. Montrer que si |h| assez petit, alors
(1−2zh+h
2 )
−1/2 = P 0 (z) + P 1 (z)h + P 2 (z)h
2 + · · · + P k (z)h
k + · · ·
où P 0 , P 1 , P 2 , . . . sont les polynômes de Legendre.
7
@ . L'équation différentielle d'Airy. Il s’agit de l’équation y
+ xy = 0 (exercice 11 page 158
et exercice 5 page 473). Cherchons des solutions sous la forme y(x) =
+∞
n=0 a n x
n .
a) Montrer que les a n satisfont la relation (n+2)(n+3)a n+3 + a n = 0 pour tout n 0.
b) En déduire que la solution telle que y(0) = 1 et y
(0) = 0 est la fonction
A(x)=1+
+∞
n=1 (−1)
n
x
3n
2 · 3 · 5 · 6 · · · (3n−1)(3n)
et que cette solution est définie sur R.
Les premiers termes de la série sont 1− x
3
6
+ x
6
180
− · · ·
c)
2
1
4
−2
x
graphe de A(x)
entre −2 et 5
Posons A N (x)=1+
N
n=1 (−1)
n
x
3n
2 · 3 · 5 · 6 · · · (3n−1)(3n)
, où N 1. Faire dessiner par
ordinateur le graphe de la fonction A 9 sur l’intervalle [−2, 5].
Montrer que si a > 0, alors pour tout x ∈ [0, a], on
a
A(x)−A N (x)
a
3N +3
2 · 3 · 5 · 6 · · · (3N +2)(3N +3)
. Après avoir
trouvé une majoration convenable de l’écart
A(−2)−A 9 (−2)
,
vérifier que pour −2 x 5, on a
A(x)−A 9 (x)
6.10
−2 .
8. Soit f un signal périodique de période T . On décale f dans le temps d’une quantité a
en posant f a (x)=f (x−a). Montrer que pour tout entier n, on a c n (f a )=e
−n i ωa c n (f ).
9. Soit g la fonction périodique de période 2π telle que g(x) = x si −π < x π (exemple
2 page 557). Utiliser la série de Fourier de g pour montrer que lorsque 0 < x < π,
on a l’égalité
+∞
n=1
sin nx
n
= π
2
− x
2
.
10
@ . Calcul d'une série de Fourier. Posons u(x) = π
8
x(π−x) pour 0 x < π. On prolonge
u en une fonction f impaire et périodique de période 2π.
572 – EXERCICES
@ . Une propriété des polynômes de Legendre. Pour tout nombre z, on définit la fonction
V (h) = (1−2zh+h
2 )
−1/2 , où la variable h est réelle.
a) Montrer que (1−2zh+h
2 ) dV
dh
= (z−h)V .
b) La fonction V est développable en série entière : montrer que les coefficients
sont des polynômes en z, autrement dit que si |h| est assez petit, alors
V (h) = Q 0 (z) + Q 1 (z)h + Q 2 (z)h
2 + · · · + Q k (z)h
k + · · ·, où Q 0 , Q 1 , Q 2 , . . . sont des
polynômes. Calculer Q 0 et Q 1 et vérifier que l’on a Q 2 (z) = (3/2)z
2
−(1/2).
c) Montrer que le coefficient de h
n dans (1−2zh+h
2 ) dV
dh
est
(n+1)Q n+1 − 2nzQ n + (n−1)Q n−1 .
Déduire de (a) que les polynômes Q n satisfont la même relation de récurrence
que les polynômes de Legendre : (n+1)Q n+1 = (2n+1)zQ n − nQ n−1 .
d) Soit z un nombre donné. Montrer que si |h| assez petit, alors
(1−2zh+h
2 )
−1/2 = P 0 (z) + P 1 (z)h + P 2 (z)h
2 + · · · + P k (z)h
k + · · ·
où P 0 , P 1 , P 2 , . . . sont les polynômes de Legendre.
7
@ . L'équation différentielle d'Airy. Il s’agit de l’équation y
+ xy = 0 (exercice 11 page 158
et exercice 5 page 473). Cherchons des solutions sous la forme y(x) =
+∞
n=0 a n x
n .
a) Montrer que les a n satisfont la relation (n+2)(n+3)a n+3 + a n = 0 pour tout n 0.
b) En déduire que la solution telle que y(0) = 1 et y
(0) = 0 est la fonction
A(x)=1+
+∞
n=1 (−1)
n
x
3n
2 · 3 · 5 · 6 · · · (3n−1)(3n)
et que cette solution est définie sur R.
Les premiers termes de la série sont 1− x
3
6
+ x
6
180
− · · ·
c)
2
1
4
−2
x
graphe de A(x)
entre −2 et 5
Posons A N (x)=1+
N
n=1 (−1)
n
x
3n
2 · 3 · 5 · 6 · · · (3n−1)(3n)
, où N 1. Faire dessiner par
ordinateur le graphe de la fonction A 9 sur l’intervalle [−2, 5].
Montrer que si a > 0, alors pour tout x ∈ [0, a], on
a
A(x)−A N (x)
a
3N +3
2 · 3 · 5 · 6 · · · (3N +2)(3N +3)
. Après avoir
trouvé une majoration convenable de l’écart
A(−2)−A 9 (−2)
,
vérifier que pour −2 x 5, on a
A(x)−A 9 (x)
6.10
−2 .
8. Soit f un signal périodique de période T . On décale f dans le temps d’une quantité a
en posant f a (x)=f (x−a). Montrer que pour tout entier n, on a c n (f a )=e
−n i ωa c n (f ).
9. Soit g la fonction périodique de période 2π telle que g(x) = x si −π < x π (exemple
2 page 557). Utiliser la série de Fourier de g pour montrer que lorsque 0 < x < π,
on a l’égalité
+∞
n=1
sin nx
n
= π
2
− x
2
.
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@ . Calcul d'une série de Fourier. Posons u(x) = π
8
x(π−x) pour 0 x < π. On prolonge
u en une fonction f impaire et périodique de période 2π.
572 – EXERCICES