i) [m
ij ] ← (
t H)MH
ii) boucles : pour i = 1, . . . , p, pour j = 1, . . . , p,
si i (p/2)+1 ou si j (p/2)+1, alors
si |m
ij | < ε, faire m
ij ← 0.
iii) fin : M
← (
t H)
−1 [m
ij ](H
−1 ).
À la fin de l’algorithme,
® la matrice M
= [m
ij ] contient une version compressée de l’image : c’est la matrice
qu’on peut transmettre par voie informatique ;
® la matrice M
représente une image dégradée avec tolérance ε.
Exemple. On a codé l’image d’une tête de marmotte au moyen d’une matrice
carrée M de taille 32. Les degrés de gris ont été repérés sur une échelle de 0 à 1
et l’on a choisi la tolérance ε = 0,1.
Dans la matrice M
ε =
A B ε
C ε D ε
, les sous-matrices B ε , C ε et D ε sont bien creuses :
dans B ε , il n’y a environ que 7,4% de coefficients non nuls, dans C ε , il y en a 4%
et D ε = 0. Au total, la matrice M
ε n’a que 27,8% de coefficients non nuls (dont
les 25% de coefficients principaux qui n’ont pas changé). On voit que, malgré la
compression, l’image se dégrade peu.
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
avant compression
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
après compression
Exercices
1. Calcul approché de la somme d'une série Dans l’exemple page 530, nous avons montré
que si a > 0 , alors
+∞
k=p
1
a
2 +k
2
1
a
2 +p
2
+ 1
a
Arc tan a
p
pour tout entier p 1.
Montrer que pour tout x 0, on a l’encadrement 0 Arc tan x x. En déduire
+∞
k=p
1
k
2 +p
2
2/p puis, au moyen d’un ordinateur, une valeur approchée à 2.10
−2
près de la somme
+∞
k=1
1
k
2 +p
2
.
2
@ . Développement en série entière et suite récurrente linéaire. Soient p et q des nombres.
On suppose q = 0 et pour tout x, on pose f (x) =
1
q+px+x
2
.
a) Montrer que si |x| est assez petit, f (x) est bien défini.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 569
ij ] ← (
t H)MH
ii) boucles : pour i = 1, . . . , p, pour j = 1, . . . , p,
si i (p/2)+1 ou si j (p/2)+1, alors
si |m
ij | < ε, faire m
ij ← 0.
iii) fin : M
← (
t H)
−1 [m
ij ](H
−1 ).
À la fin de l’algorithme,
® la matrice M
= [m
ij ] contient une version compressée de l’image : c’est la matrice
qu’on peut transmettre par voie informatique ;
® la matrice M
représente une image dégradée avec tolérance ε.
Exemple. On a codé l’image d’une tête de marmotte au moyen d’une matrice
carrée M de taille 32. Les degrés de gris ont été repérés sur une échelle de 0 à 1
et l’on a choisi la tolérance ε = 0,1.
Dans la matrice M
ε =
A B ε
C ε D ε
, les sous-matrices B ε , C ε et D ε sont bien creuses :
dans B ε , il n’y a environ que 7,4% de coefficients non nuls, dans C ε , il y en a 4%
et D ε = 0. Au total, la matrice M
ε n’a que 27,8% de coefficients non nuls (dont
les 25% de coefficients principaux qui n’ont pas changé). On voit que, malgré la
compression, l’image se dégrade peu.
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
avant compression
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
après compression
Exercices
1. Calcul approché de la somme d'une série Dans l’exemple page 530, nous avons montré
que si a > 0 , alors
+∞
k=p
1
a
2 +k
2
1
a
2 +p
2
+ 1
a
Arc tan a
p
pour tout entier p 1.
Montrer que pour tout x 0, on a l’encadrement 0 Arc tan x x. En déduire
+∞
k=p
1
k
2 +p
2
2/p puis, au moyen d’un ordinateur, une valeur approchée à 2.10
−2
près de la somme
+∞
k=1
1
k
2 +p
2
.
2
@ . Développement en série entière et suite récurrente linéaire. Soient p et q des nombres.
On suppose q = 0 et pour tout x, on pose f (x) =
1
q+px+x
2
.
a) Montrer que si |x| est assez petit, f (x) est bien défini.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 569