b) Montrer que pour une série entière
a k x
k , on a (q+px+x
2 )
a k x
k = 1 si et
seulement si qa 0 = 1, qa 1 + pa 0 = 0 et qa k+2 + pa k+1 + a k = 0 quel que soit k 0.
En déduire que pour |x| assez petit, on a le développement en série entière
1
q+px+x
2
=
+∞
k=0 a k x
k .
c) Montrer que le début du développement en série entière de f (x) est
1
q+px+x
2
= 1
q
−
p
q
2
x +
−q+p
2
q
3
x
2
−
p(−2q+p
2 )
q
4
x
3 +
q
2 −3qp
2 +p
4
q
5
x
4 + · · ·
3. Les nombres de Fibonacci. On définit les nombres de Fibonacci F n en posant F 0 = 0,
F 1 = 1 et F k+2 = F k+1 + F k pour tout entier k 0. Si k > 0, F k est un entier positif.
a) Montrer que pour |x| assez petit, le développement en série entière de
x
1−x−x
2
est
+∞
k=0 F k x
k (multiplier cette série entière par 1−x−x
2 ).
b) Calculer les racines de 1−x−x
2 et montrer que l’on a x
2 +x−1 = (x+α)(x+β),
où α =
1+
√
5
2
et β =
1−
√
5
2
. Vérifier les relations α+β = 1 et αβ = −1.
c) Vérifier l’égalité
1
1−x−x
2
= 1
α−β
1
α+x
− 1
β+x
. En déduire le développement en
série entière
1
1−x−x
2
= 1
α−β
+∞
k=0 (α
k+1
−β
k+1 )x
k (utiliser le développement en série entière de 1
a−z
). Montrer finalement que l’on a
x
1−x−x
2
= 1
α−β
+∞
k=1 (α
k
−β
k )x
k
pour |x| < |β|.
d) En déduire que pour tout entier k 0, on a l’égalité F k =
(1+
√
5)
k − (1−
√
5)
k
2
k
√
5
.
La fraction de droite est donc un nombre entier, car les nombres de Fibonacci sont
par définition des entiers.
4. Utilisation d'une série génératrice. Soient p, q et r des entiers strictement positifs. Étant
donné un entier n 0, on note u n le nombre de solutions (x, y, z) de l’équation
px + qy + rz = n, où les inconnues x, y, z sont des entiers positifs ou nuls.
a) Écrire le développement en série entière de la fonction t → 1
1−t
p . Quel est le rayon
de convergence ?
b) Montrer que u n est le coefficient de t
n dans le développement en série entière
de
1
(1−t
p )(1−t
q )(1−t
r )
.
c) On prend p = 2, q = 3, r = 5. Vérifier que l’on a par exemple u 20 = 11, u 20+k = 10+k
pour 1 k 9 et u 30 = u 31 = 21.
5
@ . Un problème de file d'attente. On considère un guichet où des clients se présentent
à des instants numérotés 0, 1, 2, . . . Les arrivées sont aléatoires, mais on suppose
qu’entre deux instants consécutifs n−1 et n, il y a toujours la même probabilité p
qu’un client se présente.
On appelle durée de service d’un client le temps passé au guichet à le servir. On
570 – EXERCICES
a k x
k , on a (q+px+x
2 )
a k x
k = 1 si et
seulement si qa 0 = 1, qa 1 + pa 0 = 0 et qa k+2 + pa k+1 + a k = 0 quel que soit k 0.
En déduire que pour |x| assez petit, on a le développement en série entière
1
q+px+x
2
=
+∞
k=0 a k x
k .
c) Montrer que le début du développement en série entière de f (x) est
1
q+px+x
2
= 1
q
−
p
q
2
x +
−q+p
2
q
3
x
2
−
p(−2q+p
2 )
q
4
x
3 +
q
2 −3qp
2 +p
4
q
5
x
4 + · · ·
3. Les nombres de Fibonacci. On définit les nombres de Fibonacci F n en posant F 0 = 0,
F 1 = 1 et F k+2 = F k+1 + F k pour tout entier k 0. Si k > 0, F k est un entier positif.
a) Montrer que pour |x| assez petit, le développement en série entière de
x
1−x−x
2
est
+∞
k=0 F k x
k (multiplier cette série entière par 1−x−x
2 ).
b) Calculer les racines de 1−x−x
2 et montrer que l’on a x
2 +x−1 = (x+α)(x+β),
où α =
1+
√
5
2
et β =
1−
√
5
2
. Vérifier les relations α+β = 1 et αβ = −1.
c) Vérifier l’égalité
1
1−x−x
2
= 1
α−β
1
α+x
− 1
β+x
. En déduire le développement en
série entière
1
1−x−x
2
= 1
α−β
+∞
k=0 (α
k+1
−β
k+1 )x
k (utiliser le développement en série entière de 1
a−z
). Montrer finalement que l’on a
x
1−x−x
2
= 1
α−β
+∞
k=1 (α
k
−β
k )x
k
pour |x| < |β|.
d) En déduire que pour tout entier k 0, on a l’égalité F k =
(1+
√
5)
k − (1−
√
5)
k
2
k
√
5
.
La fraction de droite est donc un nombre entier, car les nombres de Fibonacci sont
par définition des entiers.
4. Utilisation d'une série génératrice. Soient p, q et r des entiers strictement positifs. Étant
donné un entier n 0, on note u n le nombre de solutions (x, y, z) de l’équation
px + qy + rz = n, où les inconnues x, y, z sont des entiers positifs ou nuls.
a) Écrire le développement en série entière de la fonction t → 1
1−t
p . Quel est le rayon
de convergence ?
b) Montrer que u n est le coefficient de t
n dans le développement en série entière
de
1
(1−t
p )(1−t
q )(1−t
r )
.
c) On prend p = 2, q = 3, r = 5. Vérifier que l’on a par exemple u 20 = 11, u 20+k = 10+k
pour 1 k 9 et u 30 = u 31 = 21.
5
@ . Un problème de file d'attente. On considère un guichet où des clients se présentent
à des instants numérotés 0, 1, 2, . . . Les arrivées sont aléatoires, mais on suppose
qu’entre deux instants consécutifs n−1 et n, il y a toujours la même probabilité p
qu’un client se présente.
On appelle durée de service d’un client le temps passé au guichet à le servir. On
570 – EXERCICES