En employant les notations introduites dans l’exemple, les formules qui permettent
de calculer les a k et les b k s’expriment par la relation matricielle
[ a b ] = [f ] H , où le signal f est de taille p.
Puisque H est une matrice de changement de base, elle est inversible.
Interprétation de la décomposition
Soit f = [f 0 , f 1 , . . . , f 2 N −1 ] un signal discret de longueur 2
N . Si l’on veut approcher
f (au sens de la distance dans E N ) par un signal de longueur moitié, le meilleur
choix est le projeté a = [a 0 , a 1 , . . . , a 2 N −1 −1 ], où a k = 1
2
f 2k + 1
2
f 2k+1 .
Puisque a k est la moyenne de deux valeurs consécutives de f , le signal a est plus
régulier que f : des détails de f n’y apparaissent pas, mais on y retrouve l’allure
principale du signal initial.
L’information de détail est exprimée dans le signal b. Si f est assez régulier, des
valeurs consécutives f 2k et f 2k+1 sont voisines et les termes b k sont petits.
La figure de gauche ci-dessous montre le graphe d’un signal f échantillonné sur
2
5 = 32 points : la fonction est constante sur chacun des sous-intervalles de partage.
Au centre, on voit le graphe de la partie principale : c’est une fonction constante sur
seize sous-intervalles de longueur double des précédents. Les détails sont représentés
par le graphe de droite, où la fonction est une combinaison des seize ondelettes
ψ 4,k , k = 0, . . . , 15. Il y a plusieurs intervalles où cette fonction de détail est nulle,
correspondant aux valeurs de k telles que b k = 0.
un signal f
l'allure principale a
les détails b
4.3 Application à la compression d'images
On numérise une image en la découpant en 2
N
× 2
N pixels répartis en 2
N lignes,
chaque ligne comprenant 2
N pixels. Dans le cas d’une image en noir et blanc, on associe à chaque pixel un niveau de gris qu’on peut repérer sur une échelle convenable
(formée par exemple d’entiers entre 0 et 255 ou par des nombres entre 0 et 1). L’image
est ainsi définie par une matrice carrée de taille 2
N . Pour une image en couleurs,
il suffit de considérer trois images formées des niveaux dans les couleurs primaires
(rouge, vert et bleu). Supposons désormais que notre image est en noir et blanc.
Traitement par ondelettes. Soit M la matrice qui définit l’image. Chaque ligne
et chaque colonne est un signal de longueur 2
N que l’on peut décomposer comme
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 567
de calculer les a k et les b k s’expriment par la relation matricielle
[ a b ] = [f ] H , où le signal f est de taille p.
Puisque H est une matrice de changement de base, elle est inversible.
Interprétation de la décomposition
Soit f = [f 0 , f 1 , . . . , f 2 N −1 ] un signal discret de longueur 2
N . Si l’on veut approcher
f (au sens de la distance dans E N ) par un signal de longueur moitié, le meilleur
choix est le projeté a = [a 0 , a 1 , . . . , a 2 N −1 −1 ], où a k = 1
2
f 2k + 1
2
f 2k+1 .
Puisque a k est la moyenne de deux valeurs consécutives de f , le signal a est plus
régulier que f : des détails de f n’y apparaissent pas, mais on y retrouve l’allure
principale du signal initial.
L’information de détail est exprimée dans le signal b. Si f est assez régulier, des
valeurs consécutives f 2k et f 2k+1 sont voisines et les termes b k sont petits.
La figure de gauche ci-dessous montre le graphe d’un signal f échantillonné sur
2
5 = 32 points : la fonction est constante sur chacun des sous-intervalles de partage.
Au centre, on voit le graphe de la partie principale : c’est une fonction constante sur
seize sous-intervalles de longueur double des précédents. Les détails sont représentés
par le graphe de droite, où la fonction est une combinaison des seize ondelettes
ψ 4,k , k = 0, . . . , 15. Il y a plusieurs intervalles où cette fonction de détail est nulle,
correspondant aux valeurs de k telles que b k = 0.
un signal f
l'allure principale a
les détails b
4.3 Application à la compression d'images
On numérise une image en la découpant en 2
N
× 2
N pixels répartis en 2
N lignes,
chaque ligne comprenant 2
N pixels. Dans le cas d’une image en noir et blanc, on associe à chaque pixel un niveau de gris qu’on peut repérer sur une échelle convenable
(formée par exemple d’entiers entre 0 et 255 ou par des nombres entre 0 et 1). L’image
est ainsi définie par une matrice carrée de taille 2
N . Pour une image en couleurs,
il suffit de considérer trois images formées des niveaux dans les couleurs primaires
(rouge, vert et bleu). Supposons désormais que notre image est en noir et blanc.
Traitement par ondelettes. Soit M la matrice qui définit l’image. Chaque ligne
et chaque colonne est un signal de longueur 2
N que l’on peut décomposer comme
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
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