Puisque Φ j ·Φ j = 1
2p
, on a simplement les relations f 2k =a k +b k et f 2k+1 =a k −b k , d’où
a k = 1
2
f 2k + 1
2
f 2k+1 et b k = 1
2
f 2k − 1
2
f 2k+1 , pour 0 k p−1.
Ce sont les formules du changement de base. La fonction P N (f ) =
p−1
k=0 a k ϕ k appartient à E N et f −P N (f ) =
p−1
k=0 b k ψ k est orthogonale à E N . D’après le théorème
de la projection (page 209), on en déduit :
p−1
k=0
a k ϕ k est le projeté orthogonal de f sur le sous-espace E N .
La fonction f est constante sur des intervalles de longueur 1/2
N +1 : si l’on veut
approcher f par des fonctions constantes sur des intervalles de longueur double, la
meilleure approximation au sens de la norme dans E N +1 est P N (f ) =
p−1
k=0 a k ϕ k .
On peut bien sûr poursuivre la décomposition en projetant P N (f ) sur E N −1 et ainsi
de suite. Cela conduit à calculer les coordonnées de f dans la base de E N +1 formée
de la constante 1, de ψ 0 = Ψ et de tous les ψ n,k , où n = 1, 2, . . . , N et 0 k 2
n
−1
(le nombre de ces fonctions est bien 1+1+2+2
2 + · · · +2
N = 2
N +1 = dim E N +1 ).
On peut définir d’autres types d’ondelettes en choisissant comme ondelette-mère une
courbe convenable. Cela permet, comme la décomposition de Fourier, d’analyser aussi
des signaux continus.
Exemple. Prenons N = 2. Pour tout signal discret f = [f j ] 0j7 appartenant à E 3 ,
les coordonnées a 0 , a 1 , a 2 , a 3 et b 0 , b 1 , b 2 , b 3 sont données par le produit matriciel
[a 0 a 1 a 2 a 3 b 0 b 1 b 2 b 3 ]=[f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 ]
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1/2 0 0 0 1/2
0
0
0
1/2 0 0 0 −1/2 0
0
0
0 1/2 0 0
0
1/2
0
0
0 1/2 0 0
0 −1/2 0
0
0 0 1/2 0
0
0
1/2
0
0 0 1/2 0
0
0 −1/2 0
0 0 0 1/2 0
0
0
1/2
0 0 0 1/2 0
0
0 −1/2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Écrivons cela sous la forme condensée [ a b ] = [f ]H , où l’on a appelé H la matrice
8 × 8, posé a = [a 0 a 1 a 2 a 3 ], b = [b 0 b 1 b 2 b 3 ] et noté [f ] le vecteur-ligne constitué des
valeurs du signal.
Plus généralement, introduisons la matrice carrée H =[h ij ] de taille p=2
N +1 définie par
h ij =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
1/2
si j p/2 et i = 2j−1 ou 2j
1/2
si j > p/2 et i = 2j−p−1
−1/2 si j > p/2 et i = 2j−p
0
sinon
566 – ONDELETTES DE HAAR
2p
, on a simplement les relations f 2k =a k +b k et f 2k+1 =a k −b k , d’où
a k = 1
2
f 2k + 1
2
f 2k+1 et b k = 1
2
f 2k − 1
2
f 2k+1 , pour 0 k p−1.
Ce sont les formules du changement de base. La fonction P N (f ) =
p−1
k=0 a k ϕ k appartient à E N et f −P N (f ) =
p−1
k=0 b k ψ k est orthogonale à E N . D’après le théorème
de la projection (page 209), on en déduit :
p−1
k=0
a k ϕ k est le projeté orthogonal de f sur le sous-espace E N .
La fonction f est constante sur des intervalles de longueur 1/2
N +1 : si l’on veut
approcher f par des fonctions constantes sur des intervalles de longueur double, la
meilleure approximation au sens de la norme dans E N +1 est P N (f ) =
p−1
k=0 a k ϕ k .
On peut bien sûr poursuivre la décomposition en projetant P N (f ) sur E N −1 et ainsi
de suite. Cela conduit à calculer les coordonnées de f dans la base de E N +1 formée
de la constante 1, de ψ 0 = Ψ et de tous les ψ n,k , où n = 1, 2, . . . , N et 0 k 2
n
−1
(le nombre de ces fonctions est bien 1+1+2+2
2 + · · · +2
N = 2
N +1 = dim E N +1 ).
On peut définir d’autres types d’ondelettes en choisissant comme ondelette-mère une
courbe convenable. Cela permet, comme la décomposition de Fourier, d’analyser aussi
des signaux continus.
Exemple. Prenons N = 2. Pour tout signal discret f = [f j ] 0j7 appartenant à E 3 ,
les coordonnées a 0 , a 1 , a 2 , a 3 et b 0 , b 1 , b 2 , b 3 sont données par le produit matriciel
[a 0 a 1 a 2 a 3 b 0 b 1 b 2 b 3 ]=[f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 ]
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1/2 0 0 0 1/2
0
0
0
1/2 0 0 0 −1/2 0
0
0
0 1/2 0 0
0
1/2
0
0
0 1/2 0 0
0 −1/2 0
0
0 0 1/2 0
0
0
1/2
0
0 0 1/2 0
0
0 −1/2 0
0 0 0 1/2 0
0
0
1/2
0 0 0 1/2 0
0
0 −1/2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Écrivons cela sous la forme condensée [ a b ] = [f ]H , où l’on a appelé H la matrice
8 × 8, posé a = [a 0 a 1 a 2 a 3 ], b = [b 0 b 1 b 2 b 3 ] et noté [f ] le vecteur-ligne constitué des
valeurs du signal.
Plus généralement, introduisons la matrice carrée H =[h ij ] de taille p=2
N +1 définie par
h ij =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
1/2
si j p/2 et i = 2j−1 ou 2j
1/2
si j > p/2 et i = 2j−p−1
−1/2 si j > p/2 et i = 2j−p
0
sinon
566 – ONDELETTES DE HAAR