Une base de E N +1 . Considérons dans E N +1 la famille formée des ϕ N,k et des
ψ N,k , où 0 k 2
N
−1 (pour N = 2, voir les figures pages 563 et 564). Calculons
le produit scalaire de deux quelconques de ces vecteurs.
® Si k = , alors ϕ N,k ·ϕ N,, = ψ N,k ·ψ N,, =0, car les fonctions sont à supports disjoints.
® Pour la même raison, on a ϕ N,k · ψ N,, = 0 si k = .
® On a aussi ϕ N,k · ψ N,k = 0.
En effet, puisque ϕ N,k (x) vaut 1 sur [x k , x k+1 [ et 0 ailleurs, il vient
1
0
ϕ N,k (t)ψ N,k (t) dt =
x k+1
x k
ψ N,k (t) dt = 0 .
® ϕ N,k ·ϕ N,k = 1
2
N
=ψ N,k ·ψ N,k , car
ϕ N,k (x)
2 =
ψ N,k (x)
2 =1 pour tout x∈[x k ,x k+1 [.
Ainsi, en mettant ensemble les ϕ N,k et les ψ N,, , on obtient des vecteurs deux à deux
orthogonaux dans E N +1 . Puisque aucune de ces fonctions n’est la fonction nulle, on en
déduit que ce sont des vecteurs indépendants (proposition page 205). Le nombre de ces
vecteurs est 2
N +2
N = 2
N +1 qui est la dimension de E N +1 , donc
la famille des ϕ N,k et ψ N,k est une base de E N +1 et
ces vecteurs sont deux à deux orthogonaux.
Décomposition d'un signal. Rappelons que l’espace vectoriel E N +1 a aussi pour
base les fonctions ϕ N +1,j , où 0 j 2
N +1
−1. L’entier N étant donné, posons pour
simplifier p = 2
N ,
Φ j = ϕ N +1,j pour 0 j 2p−1, ϕ k = ϕ N,k et ψ k = ψ N,k pour 0 k p−1.
Tout signal f appartenant à E N +1 se décompose de manière unique en
(∗)
f =
2p−1
j=0
f j Φ j =
p−1
k=0
a k ϕ k +
p−1
k=0
b k ψ k
Entre une fonction Φ j et l’une des fonctions ϕ k ou ψ k , les seuls produits scalaires
non nuls sont
Φ 2k · ϕ k = Φ 2k · ψ k = 1
2p
, Φ 2k+1 · ϕ k = 1
2p
et Φ 2k+1 · ψ k =
−1
2p
x k
x k+
ϕ k
1/p
x k
x k+1
1
Φ 2k Φ 2k+1
1/2p 1/2p
x k
x k+1
ψ k
1/2p
1/2p
En multipliant scalairement par Φ 2k dans (∗), il vient donc
f · Φ 2k = f 2k Φ 2k · Φ 2k = a k Φ 2k · ϕ k + b k Φ 2k · ψ k = 1
2p
a k + 1
2p
b k
De même, en multipliant scalairement par Φ 2k+1 , on obtient
f · Φ 2k+1 = f 2k+1 Φ 2k+1 · Φ 2k+1 = a k Φ 2k+1 · ϕ k + b k Φ 2k+1 · ψ k = 1
2p
a k − 1
2p
b k
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 565
ψ N,k , où 0 k 2
N
−1 (pour N = 2, voir les figures pages 563 et 564). Calculons
le produit scalaire de deux quelconques de ces vecteurs.
® Si k = , alors ϕ N,k ·ϕ N,, = ψ N,k ·ψ N,, =0, car les fonctions sont à supports disjoints.
® Pour la même raison, on a ϕ N,k · ψ N,, = 0 si k = .
® On a aussi ϕ N,k · ψ N,k = 0.
En effet, puisque ϕ N,k (x) vaut 1 sur [x k , x k+1 [ et 0 ailleurs, il vient
1
0
ϕ N,k (t)ψ N,k (t) dt =
x k+1
x k
ψ N,k (t) dt = 0 .
® ϕ N,k ·ϕ N,k = 1
2
N
=ψ N,k ·ψ N,k , car
ϕ N,k (x)
2 =
ψ N,k (x)
2 =1 pour tout x∈[x k ,x k+1 [.
Ainsi, en mettant ensemble les ϕ N,k et les ψ N,, , on obtient des vecteurs deux à deux
orthogonaux dans E N +1 . Puisque aucune de ces fonctions n’est la fonction nulle, on en
déduit que ce sont des vecteurs indépendants (proposition page 205). Le nombre de ces
vecteurs est 2
N +2
N = 2
N +1 qui est la dimension de E N +1 , donc
la famille des ϕ N,k et ψ N,k est une base de E N +1 et
ces vecteurs sont deux à deux orthogonaux.
Décomposition d'un signal. Rappelons que l’espace vectoriel E N +1 a aussi pour
base les fonctions ϕ N +1,j , où 0 j 2
N +1
−1. L’entier N étant donné, posons pour
simplifier p = 2
N ,
Φ j = ϕ N +1,j pour 0 j 2p−1, ϕ k = ϕ N,k et ψ k = ψ N,k pour 0 k p−1.
Tout signal f appartenant à E N +1 se décompose de manière unique en
(∗)
f =
2p−1
j=0
f j Φ j =
p−1
k=0
a k ϕ k +
p−1
k=0
b k ψ k
Entre une fonction Φ j et l’une des fonctions ϕ k ou ψ k , les seuls produits scalaires
non nuls sont
Φ 2k · ϕ k = Φ 2k · ψ k = 1
2p
, Φ 2k+1 · ϕ k = 1
2p
et Φ 2k+1 · ψ k =
−1
2p
x k
x k+
ϕ k
1/p
x k
x k+1
1
Φ 2k Φ 2k+1
1/2p 1/2p
x k
x k+1
ψ k
1/2p
1/2p
En multipliant scalairement par Φ 2k dans (∗), il vient donc
f · Φ 2k = f 2k Φ 2k · Φ 2k = a k Φ 2k · ϕ k + b k Φ 2k · ψ k = 1
2p
a k + 1
2p
b k
De même, en multipliant scalairement par Φ 2k+1 , on obtient
f · Φ 2k+1 = f 2k+1 Φ 2k+1 · Φ 2k+1 = a k Φ 2k+1 · ϕ k + b k Φ 2k+1 · ψ k = 1
2p
a k − 1
2p
b k
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ERIES, S ´
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