De même, la fonction ψ 1,1 donne naissance à ψ 2,1 sur l’intervalle [1/2,3/4[ et à ψ 2,2 sur
[3/4,1[. Les quatre fonctions de cette deuxième génération appartiennent à l’espace E 3 .
1
1
0
x
0,25
ψ 2,0
1
1
0
x
0,5
ψ 2,1
1
1
0
x
0,75
ψ 2,2
1
1
0
x
0,75
ψ 2,3
À la N -ième génération, on trouve 2
N fonctions ψ N,k , où 0 k 2
N
−1, appelées
ondelettes de Haar : la fonction ψ N,k vaut
® 1 sur la première moitié de l’intervalle [k/2
N , (k+1)/2
N [,
® −1 sur la seconde moitié,
® 0 en tout autre point de [0, 1[.
La formule générale est
ψ N,k (x) =
Ψ(2
N x−k) si k/2
N
x < (k+1)/2
N
0
sinon
Puisque ψ N,k est constante sur tous les intervalles [j/2
N +1 , (j+1)/2
N +1 [ pour
j = 0, . . . , 2
N +1
−1, c’est un élément de l’espace E N +1 . Remarquons qu’une ondelette
est de moyenne nulle, car l’intégrale de ψ N,k entre 0 et 1 est égale à 0.
Terminologie. Si une fonction définie sur [0, 1[ est nulle hors d’un intervalle [a, b[
inclus dans [0, 1[, nous dirons qu’elle est à support dans [a, b]. Ainsi la fonction ψ N,k
est à support dans [k/2
N , (k+1)/2
N ].
Supposons que u est une fonction à support dans [a, b], que v est à support dans
[c, d] et que les intervalles ouverts ]a, b[ et ]c, d[ sont disjoints : on dit alors que u
et v sont à supports disjoints. Dans ce cas, le produit u(x)v(x) est nul sauf peut-être
si b = c = x et par suite
1
0
u(t)v(t) dt = 0.
Dans E N , deux fonctions à supports disjoints sont orthogonales.
Puisque ψ N,k est à support dans [x k , x k+1 ], ψ N,k et ψ N,, ont des supports disjoints
si k = . On en déduit :
pour 0 k 2
N
−1, les ondelettes ψ N,k sont deux à deux
orthogonales dans l’espace E N +1 .
4.2 Décomposition en ondelettes
Rappelons que pour tout entier k = 0, 1, . . . , 2
N
−1, nous avons noté ϕ N,k la fonction
appartenant à E N qui est constante de valeur 1 sur [x k , x k+1 [ et qui vaut 0 ailleurs.
Ces 2
N fonctions sont deux à deux orthogonales.
Remarquons que tout élément de E N est aussi élément de E N +1 , car une fonction
constante sur un intervalle l’est aussi sur chaque moitié de cet intervalle. Ainsi E N
est un sous-espace vectoriel de E N +1 .
564 – ONDELETTES DE HAAR
[3/4,1[. Les quatre fonctions de cette deuxième génération appartiennent à l’espace E 3 .
1
1
0
x
0,25
ψ 2,0
1
1
0
x
0,5
ψ 2,1
1
1
0
x
0,75
ψ 2,2
1
1
0
x
0,75
ψ 2,3
À la N -ième génération, on trouve 2
N fonctions ψ N,k , où 0 k 2
N
−1, appelées
ondelettes de Haar : la fonction ψ N,k vaut
® 1 sur la première moitié de l’intervalle [k/2
N , (k+1)/2
N [,
® −1 sur la seconde moitié,
® 0 en tout autre point de [0, 1[.
La formule générale est
ψ N,k (x) =
Ψ(2
N x−k) si k/2
N
x < (k+1)/2
N
0
sinon
Puisque ψ N,k est constante sur tous les intervalles [j/2
N +1 , (j+1)/2
N +1 [ pour
j = 0, . . . , 2
N +1
−1, c’est un élément de l’espace E N +1 . Remarquons qu’une ondelette
est de moyenne nulle, car l’intégrale de ψ N,k entre 0 et 1 est égale à 0.
Terminologie. Si une fonction définie sur [0, 1[ est nulle hors d’un intervalle [a, b[
inclus dans [0, 1[, nous dirons qu’elle est à support dans [a, b]. Ainsi la fonction ψ N,k
est à support dans [k/2
N , (k+1)/2
N ].
Supposons que u est une fonction à support dans [a, b], que v est à support dans
[c, d] et que les intervalles ouverts ]a, b[ et ]c, d[ sont disjoints : on dit alors que u
et v sont à supports disjoints. Dans ce cas, le produit u(x)v(x) est nul sauf peut-être
si b = c = x et par suite
1
0
u(t)v(t) dt = 0.
Dans E N , deux fonctions à supports disjoints sont orthogonales.
Puisque ψ N,k est à support dans [x k , x k+1 ], ψ N,k et ψ N,, ont des supports disjoints
si k = . On en déduit :
pour 0 k 2
N
−1, les ondelettes ψ N,k sont deux à deux
orthogonales dans l’espace E N +1 .
4.2 Décomposition en ondelettes
Rappelons que pour tout entier k = 0, 1, . . . , 2
N
−1, nous avons noté ϕ N,k la fonction
appartenant à E N qui est constante de valeur 1 sur [x k , x k+1 [ et qui vaut 0 ailleurs.
Ces 2
N fonctions sont deux à deux orthogonales.
Remarquons que tout élément de E N est aussi élément de E N +1 , car une fonction
constante sur un intervalle l’est aussi sur chaque moitié de cet intervalle. Ainsi E N
est un sous-espace vectoriel de E N +1 .
564 – ONDELETTES DE HAAR