Les fonctions ϕ N,k forment une base de E N . On a donc dim E N = 2
N .
1
1
1
0
2
3
4
x
x
x x x x
ϕ 2,0
1
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x x x x
ϕ 2,1
1
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x
x
x x x x
ϕ 2,2
1
1
1
0
2
3
4
x
x
x x x x
ϕ 2,3
Si k et sont des entiers différents, les intervalles [x k , x k+1 [ et [x , x +1 [ sont disjoints,
donc pour x dans [0, 1[, l’un au moins des nombres ϕ N,k (x) ou ϕ N,, (x) est nul. Ainsi
la fonction produit ϕ N,k ϕ N,, est nulle et par suite ϕ N,k · ϕ N, =
1
0
ϕ N,k (t)ϕ N,, (t) dt = 0.
D’autre part,
1
0
ϕ N,k (t)
2 dt = x k+1 −x k = 1
2
N
, d’où
ϕ N,k · ϕ N,, =
0
si k =
1/2
N
si k =
Pour 0 k 2
N
−1, les fonctions ϕ N,k forment une base de E N et sont deux à deux
orthogonales.
4.1 Génération des ondelettes
On part de l’ondelette-mère : c’est la fonction Ψ définie sur l’intervalle [0,1[ en posant
Ψ(x) =
1 si 0 x < 1/2
−1 si 1/2 x < 1
1
1
0
x
Ψ
Pour obtenir la première génération d’ondelettes, on reproduit dans chaque moitié
de l’intervalle [0, 1[ une fonction semblable à Ψ :
®
1
1
0
x
0,5
ψ 1,0
1
1
0
x
0,5
ψ 1,1
sur [0, 1/2[, on obtient la fonction ψ 1,0 qui vaut
1 sur [0, 1/4[, −1 sur [1/4, 1/2[ et 0 ailleurs,
® sur [1/2, 1[, on obtient la fonction ψ 1,1 qui vaut
1 sur [1/2, 3/4[, −1 sur [3/4, 1[ et 0 ailleurs.
Chacune des fonctions ψ 1,0 et ψ 1,1 est constante sur les intervalles [0, 1/4[, [1/4, 1/2[,
[1/2, 3/4[ et [3/4, 1[, donc appartient à l’espace E 2 .
Poursuivons l’opération en faisant jouer à ψ 1,0 et ψ 1,1 le rôle de mère. La fonction
ψ 1,0 donne naissance à deux fonctions ψ 2,0 et ψ 2,1 :
® ψ 2,0 vaut 1 sur [0,1/8[ (première moitié de [0,1/4[), −1 sur [1/8,1/4[ et 0 ailleurs ;
® ψ 2,1 vaut 1 sur [1/4, 3/8[ (première moitié de [1/4, 1/2[), −1 sur [3/8, 1/2[ et 0
ailleurs.
Chapitre 17 – S ´
ERIES, S ´
ERIES ENTI `
ERES, S ´
ERIES DE FOURIER – 563
N .
1
1
1
0
2
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x
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x x x x
ϕ 2,0
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ϕ 2,1
1
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x x x x
ϕ 2,2
1
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x
x
x x x x
ϕ 2,3
Si k et sont des entiers différents, les intervalles [x k , x k+1 [ et [x , x +1 [ sont disjoints,
donc pour x dans [0, 1[, l’un au moins des nombres ϕ N,k (x) ou ϕ N,, (x) est nul. Ainsi
la fonction produit ϕ N,k ϕ N,, est nulle et par suite ϕ N,k · ϕ N, =
1
0
ϕ N,k (t)ϕ N,, (t) dt = 0.
D’autre part,
1
0
ϕ N,k (t)
2 dt = x k+1 −x k = 1
2
N
, d’où
ϕ N,k · ϕ N,, =
0
si k =
1/2
N
si k =
Pour 0 k 2
N
−1, les fonctions ϕ N,k forment une base de E N et sont deux à deux
orthogonales.
4.1 Génération des ondelettes
On part de l’ondelette-mère : c’est la fonction Ψ définie sur l’intervalle [0,1[ en posant
Ψ(x) =
1 si 0 x < 1/2
−1 si 1/2 x < 1
1
1
0
x
Ψ
Pour obtenir la première génération d’ondelettes, on reproduit dans chaque moitié
de l’intervalle [0, 1[ une fonction semblable à Ψ :
®
1
1
0
x
0,5
ψ 1,0
1
1
0
x
0,5
ψ 1,1
sur [0, 1/2[, on obtient la fonction ψ 1,0 qui vaut
1 sur [0, 1/4[, −1 sur [1/4, 1/2[ et 0 ailleurs,
® sur [1/2, 1[, on obtient la fonction ψ 1,1 qui vaut
1 sur [1/2, 3/4[, −1 sur [3/4, 1[ et 0 ailleurs.
Chacune des fonctions ψ 1,0 et ψ 1,1 est constante sur les intervalles [0, 1/4[, [1/4, 1/2[,
[1/2, 3/4[ et [3/4, 1[, donc appartient à l’espace E 2 .
Poursuivons l’opération en faisant jouer à ψ 1,0 et ψ 1,1 le rôle de mère. La fonction
ψ 1,0 donne naissance à deux fonctions ψ 2,0 et ψ 2,1 :
® ψ 2,0 vaut 1 sur [0,1/8[ (première moitié de [0,1/4[), −1 sur [1/8,1/4[ et 0 ailleurs ;
® ψ 2,1 vaut 1 sur [1/4, 3/8[ (première moitié de [1/4, 1/2[), −1 sur [3/8, 1/2[ et 0
ailleurs.
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