Comportement en un point de discontinuité. Concernant la convergence de
la série de Fourier en un point de discontinuité de la fonction, on a le résultat suivant.
Théorème de Dirichlet. Si en un point x 0 , la fonction f a une limite à gauche
− = lim
x→x 0
x
x→x 0
x>x 0
f (x), ainsi que des demi-dérivées à gauche
et à droite, alors la somme de sa série de Fourier en x 0 est 1
2
( + + − ).
Exemple. La fonction g de l’exemple 2 page 557 possède au point π (par exemple),
une limite à gauche − = π et une limite à droite + = −π : pour x = π, tous les
termes de la série de Fourier sont nuls, donc aussi sa somme. La série de Fourier de
g est −2
n1
(−1)
n sin nx
n
= −2
n1
sin n(x+π)
n
: elle converge pour tout x, car
la série d’Abel
n1
sin ny
n
est convergente quel que soit y (proposition page 530) ;
mais si y = 0 modulo π, la série n’est pas absolument convergente.
4. Ondelettes de Haar
Nous avons vu que la décomposition de Fourier permet d’analyser des signaux périodiques de variable réelle. Voici une technique élémentaire pour traiter, de manière
analogue, des signaux discrets, c’est-à-dire constitués d’une suite finie de valeurs
réelles f 0 , f 1 , . . . , f p . Nous considérerons un tel signal discret comme une fonction
constante par morceaux.
Donnons-nous un entier N 1 et partageons l’intervalle [0, 1[ en parties égales à
l’aide des 2
N points
x 0 = 0 , x 1 = 1
2
N
, . . . , x k = k
2
N
, . . . , x 2 N −1 =
2
N
−1
2
N
= 1− 1
2
N
.
Notons E N l’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, définies sur [0, 1[ et
constantes sur chacun des intervalles [x k ,x k+1 [, où 0 k 2
N
−1 : pour f ∈ E N , on a
f (x) = f k si x k x < x k+1 , pour tout entier k tel que 0 k 2
N
−1.
Pour toutes fonctions f et g appartenant à E N , posons f · g =
1
0
f (t)g(t) dt.
Cela définit un produit scalaire et E N devient ainsi un espace euclidien (chapitre 7).
Une base de E N . Considérons les fonctions ϕ N,k définies par
ϕ N,k (x) =
1 si x k x < x k+1 et 0 k 2
N
− 1
0 sinon
Si une fonction f ∈ E N vaut f k sur [x k , x k+1 [, alors pour tout x ∈ [0, 1[, on a
f (x) =
2
N −1
k=0 f k ϕ N,k (x), autrement dit toute fonction dans E N s’écrit de manière
unique comme la combinaison linéaire f =
2
N −1
k=0 f k ϕ N,k .
562 – ONDELETTES DE HAAR
la série de Fourier en un point de discontinuité de la fonction, on a le résultat suivant.
Théorème de Dirichlet. Si en un point x 0 , la fonction f a une limite à gauche
− = lim
x→x 0
x
x→x 0
x>x 0
f (x), ainsi que des demi-dérivées à gauche
et à droite, alors la somme de sa série de Fourier en x 0 est 1
2
( + + − ).
Exemple. La fonction g de l’exemple 2 page 557 possède au point π (par exemple),
une limite à gauche − = π et une limite à droite + = −π : pour x = π, tous les
termes de la série de Fourier sont nuls, donc aussi sa somme. La série de Fourier de
g est −2
n1
(−1)
n sin nx
n
= −2
n1
sin n(x+π)
n
: elle converge pour tout x, car
la série d’Abel
n1
sin ny
n
est convergente quel que soit y (proposition page 530) ;
mais si y = 0 modulo π, la série n’est pas absolument convergente.
4. Ondelettes de Haar
Nous avons vu que la décomposition de Fourier permet d’analyser des signaux périodiques de variable réelle. Voici une technique élémentaire pour traiter, de manière
analogue, des signaux discrets, c’est-à-dire constitués d’une suite finie de valeurs
réelles f 0 , f 1 , . . . , f p . Nous considérerons un tel signal discret comme une fonction
constante par morceaux.
Donnons-nous un entier N 1 et partageons l’intervalle [0, 1[ en parties égales à
l’aide des 2
N points
x 0 = 0 , x 1 = 1
2
N
, . . . , x k = k
2
N
, . . . , x 2 N −1 =
2
N
−1
2
N
= 1− 1
2
N
.
Notons E N l’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, définies sur [0, 1[ et
constantes sur chacun des intervalles [x k ,x k+1 [, où 0 k 2
N
−1 : pour f ∈ E N , on a
f (x) = f k si x k x < x k+1 , pour tout entier k tel que 0 k 2
N
−1.
Pour toutes fonctions f et g appartenant à E N , posons f · g =
1
0
f (t)g(t) dt.
Cela définit un produit scalaire et E N devient ainsi un espace euclidien (chapitre 7).
Une base de E N . Considérons les fonctions ϕ N,k définies par
ϕ N,k (x) =
1 si x k x < x k+1 et 0 k 2
N
− 1
0 sinon
Si une fonction f ∈ E N vaut f k sur [x k , x k+1 [, alors pour tout x ∈ [0, 1[, on a
f (x) =
2
N −1
k=0 f k ϕ N,k (x), autrement dit toute fonction dans E N s’écrit de manière
unique comme la combinaison linéaire f =
2
N −1
k=0 f k ϕ N,k .
562 – ONDELETTES DE HAAR